Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 29, 53, 57, 46, 38, 12.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 72,5.
μ = 50σ = 15x = 72,5
z =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2
σ =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 10. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2Y = 5X + 10
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 33,3 min. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 7 элементов имеет среднее 53 и стандартное отклонение s = 14. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 7x̄ = 53s = 1490%t(6) = 1,943
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 38. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?
σ = 38E = 1,595%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 505,8 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 505,8s = 8n = 16
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 13. Найдите минимальный объём выборки n.
α = 0,01мощность = 80%δ = 4σ = 13zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 72?
n = 5ŷ = 72
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 16,73
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 235/6 = 39,17
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−10,17)² + 13,83² + 17,83² + 6,833² + (−1,167)² + (−27,17)² = 1399
Стандартное отклонение
s = √(1399/5) = 16,73
Ответ
s = 16,73
2.Описательная статистика
Ответ: z = 1,5
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (72,5 − 50)/15 = 1,5
Ответ
z = 1,5
3.Вероятность
Ответ: σ = 11,45
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 10·0,35 + 20·0,2 + 30·0,25 + 40·0,2 = 23
Среднее квадратов
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,2 + 900·0,25 + 1600·0,2 = 660
Дисперсия
Var(X) = 660 − 23² = 131
σ = √131 = 11,45
Ответ
σ = 11,45
4.Вероятность
Ответ: σY = 5,612
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,2, Var(X) = 1,26, σX = 1,122
Линейное преобразование
σY = |5|·1,122 = 5,612
Ответ
σY = 5,612
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·1,2 + 10 = 16.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,3015
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Верхний хвост
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Ответ
P = 0,3015
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 259,8 g
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Обратно к x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Ответ
x = 259,8 g
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 42,72
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Предельная ошибка
E = 1,943·14/√7 = 10,28
Интервал
53 ± 10,28 → [42,72, 63,28]
Ответ
нижняя граница = 42,72
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 2466
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·38/1,5)² = 2465
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 2466
Ответ
n = 2466
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,9
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Статистика критерия
t = (505,8 − 500)/2 = 2,9
Ответ
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 107
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((2,326 + 0,842)·13/4)² = 106
Округлите вверх
n = 107
Ответ
n = 107
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9516
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 702/5 = 140,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 528
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3255
Коэффициент детерминации
r² = 528²/(90·3255) = 0,9516
Ответ
r² = 0,9516
Прямая объясняет около 95,16% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 25,33
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 308/5 = 61,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Линия регрессии
b = 216/90 = 2,4
a = 61,6 − 2,4·21 = 11,2
ŷ = 11,2 + 2,4·x
Найдите x
x = (72 − 11,2)/2,4 = 25,33
Ответ
x = 25,33
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1