Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 16, 22, 43, 48, 26.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 62?

μ = 50σ = 20x = 62

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 5 красных и 6 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

5 / 6

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 394,3 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 394,3 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 60% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов60%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 97 и стандартное отклонение s = 3,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 97s = 3,590%t(6) = 1,943

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 23. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 23E = 2,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 500,7 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,7s = 4n = 100

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 499,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 499,7σ = 15n = 8195%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 14). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(9, 14)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,53

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 191/6 = 31,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 4,167² + (−15,83)² + (−9,833)² + 11,17² + 16,17² + (−5,833)² = 784,8

Стандартное отклонение

s = √(784,8/5) = 12,53

Ответ

s = 12,53

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Ответ

P = 0,7257

3.Вероятность

Ответ: P = 0,1818

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818

Ответ

P = 0,1818

4.Вероятность

Ответ: P = 0,01953

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Сложите

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Ответ

P = 0,01953

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9332

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (394,3 − 400)/3,795 = −1,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 96,3 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,4

z из таблицы

z ≈ −0,25

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 баллов

Ответ

x = 96,3 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 99,57

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Предельная ошибка

E = 1,943·3,5/√7 = 2,57

Интервал

97 ± 2,57 → [94,43, 99,57]

Ответ

верхняя граница = 99,57

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 562

Выразите n

n = (2,576·23/2,5)² = 561,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 562

Ответ

n = 562

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,75

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерия

t = (500,7 − 500)/0,4 = 1,75

Ответ

t = 1,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 503

Предельная ошибка

E = 1,96·15/√81 = 3,267

Граница интервала

U = 499,7 + 3,267 = 503

Ответ

U = 503

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9942

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 285/5 = 57

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 412

Коэффициент детерминации

r² = 128²/(40·412) = 0,9942

Ответ

r² = 0,9942

Прямая объясняет около 99,42% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,1

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 54/5 = 10,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Линия регрессии

b = 84/40 = 2,1

a = 10,8 − 2,1·6 = −1,8

ŷ = −1,8 + 2,1·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −1,8 + 2,1·9 = 17,1

Остаток

e = 14 − 17,1 = −3,1

Ответ

e = −3,1

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1