Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 48, 51, 11, 56.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 62,5?

μ = 70σ = 5x = 62,5

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,3

σ =

4.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 10p = 0,6k = 4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245 и 256 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 256

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 93,5 и стандартное отклонение s = 19. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 93,5s = 1995%t(29) = 2,045

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p = 0,5E = 0,02590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 47, стандартное отклонение 4. Группа 2: 9 студентов, средний балл 62,7, стандартное отклонение 12. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 47s₁ = 4n₂ = 9x̄₂ = 62,7s₂ = 12

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 16 измерений имеет среднее 506,9. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 506,9σ = 12n = 1690%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5,5, 52). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 52)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 21,92

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 179/5 = 35,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−22,8)² + 12,2² + 15,2² + (−24,8)² + 20,2² = 1923

Стандартное отклонение

s = √(1923/4) = 21,92

Ответ

s = 21,92

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,054

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,7

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,3 = 8,4

Дисперсия

Var(X) = 8,4 − 2,7² = 1,11

σ = √1,11 = 1,054

Ответ

σ = 1,054

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1115

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 4) = 210·0,6⁴·0,4⁶ = 210·0,1296·0,004096 = 0,1115

Ответ

P = 0,1115

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7263

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−1) = 0,8849 − 0,1587 = 0,7263

Ответ

P = 0,7263

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8264

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Ответ

P = 0,8264

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 100,6

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·19/√30 = 7,094

Интервал

93,5 ± 7,094 → [86,41, 100,6]

Ответ

верхняя граница = 100,6

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

Округлите вверх

n = 1083

Ответ

n = 1083

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,796

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·4² + 8·12²)/12 = 101,3

s_p = 10,07

Стандартная ошибка

SE = 10,07·√(1/5 + 1/9) = 5,615

Статистика критерия

t = (47 − 62,7)/5,615 = −2,796

Ответ

t = −2,796

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 502

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·12/√16 = 4,935

Граница интервала

L = 506,9 − 4,935 = 502

Ответ

L = 502

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8929

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 341/5 = 68,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 100,8

Коэффициент детерминации

r² = 30²/(10·100,8) = 0,8929

Ответ

r² = 0,8929

Прямая объясняет около 89,29% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −5,024

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 307/6 = 51,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102,5

Линия регрессии

b = 102,5/17,5 = 5,857

a = 51,17 − 5,857·4,5 = 24,81

ŷ = 24,81 + 5,857·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 24,81 + 5,857·5,5 = 57,02

Остаток

e = 52 − 57,02 = −5,024

Ответ

e = −5,024

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1