Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 29, 23, 39, 49, 30.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 45?

μ = 50σ = 10x = 45

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.

n = 10k = 4

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них меньше 1384 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1384 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 15% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов15%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 101 h, известное стандартное отклонение 15 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 105,5 h, известное стандартное отклонение 20 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 101 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 105,5 hσ₂ = 20 h99%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 35. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 35E = 2,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 55,8 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 55,8s = 10n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 496,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 496,7σ = 12n = 4999%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 19?

n = 5ŷ = 19

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,15

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 170/5 = 34

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−11)² + 5² + 15² + (−4)² = 412

Стандартное отклонение

s = √(412/4) = 10,15

Ответ

s = 10,15

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

3.Вероятность

Ответ: N = 210

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

Ответ

N = 210

4.Вероятность

Ответ: P = 0,8857

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Сложите

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Ответ

P = 0,8857

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Стандартизуйте

z = (1384 − 1360)/48 = 0,5

Вероятность

P = Φ(0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 54,6 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 баллов

Ответ

x = 54,6 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 3,97 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 101 − 105,5 = −4,5

Стандартная ошибка

SE = √(15²/80 + 20²/50) = 3,288

Предельная ошибка

E = 2,576·3,288 = 8,47

Интервал

−4,5 ± 8,47 → [−12,97, 3,97]

Ответ

верхняя граница = 3,97 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1301

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·35/2,5)² = 1301

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1301

Ответ

n = 1301

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерия

t = (55,8 − 50)/2 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 501,1

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√49 = 4,416

Граница интервала

U = 496,7 + 4,416 = 501,1

Ответ

U = 501,1

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9769

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 400/6 = 66,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1091

Коэффициент корреляции

r = 405/√(157,5·1091) = 0,9769

Ответ

r = 0,9769

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1,538

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 76/5 = 15,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Линия регрессии

b = −26/10 = −2,6

a = 15,2 − (−2,6)·3 = 23

ŷ = 23 − 2,6·x

Найдите x

x = (19 − 23)/(−2,6) = 1,538

Ответ

x = 1,538

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1