Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 32, 46, 53, 16, 18.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 54?

μ = 50σ = 10x = 54

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

В тесте 7 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 7p = 0,5k = 4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 20 и 38,3 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 38,3

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 75% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов75%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 60,5 и стандартное отклонение s = 6. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 60,5s = 695%t(15) = 2,131

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 51,5 kg, стандартное отклонение 5,5 kg. Группа участков 2: 15 участков, среднее 55,5 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 51,5s₁ = 5,5n₂ = 15x̄₂ = 55,5s₂ = 690%t(20) = 1,725

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 9 студентов, средний балл 85,5, стандартное отклонение 8,5. Группа 2: 7 студентов, средний балл 90,3, стандартное отклонение 5,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 9x̄₁ = 85,5s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 90,3s₂ = 5,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 53 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 53n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 11). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5, 11)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,77

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 201/6 = 33,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 2,5² + (−1,5)² + 12,5² + 19,5² + (−17,5)² + (−15,5)² = 1092

Стандартное отклонение

s = √(1092/5) = 14,77

Ответ

s = 14,77

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Ответ

P = 0,3446

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,8367

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсия

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Ответ

σ = 0,8367

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2734

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 4) = 35·0,5⁴·0,5³ = 35·0,0625·0,125 = 0,2734

Ответ

P = 0,2734

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8304

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(−2) = 0,8531 − 0,02275 = 0,8304

Ответ

P = 0,8304

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 90 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,67·15 = 90 баллов

Ответ

x = 90 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 57,3

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Предельная ошибка

E = 2,131·6/√16 = 3,196

Интервал

60,5 ± 3,196 → [57,3, 63,7]

Ответ

нижняя граница = 57,3

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −8,623 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (6·5,5² + 14·6²)/20 = 34,27

s_p = 5,854

Предельная ошибка

E = 1,725·5,854·√(1/7 + 1/15) = 4,623

Интервал

−4 ± 4,623 → [−8,623, 0,6227]

Ответ

нижняя граница = −8,623 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,293

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (8·8,5² + 6·5,5²)/14 = 54,25

s_p = 7,365

Стандартная ошибка

SE = 7,365·√(1/9 + 1/7) = 3,712

Статистика критерия

t = (85,5 − 90,3)/3,712 = −1,293

Ответ

t = −1,293

При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,8341

Выборочные доли

p̂₁ = 60/150 = 0,4

p̂₂ = 53/150 = 0,3533

p̂ = 113/300 = 0,3767

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3767·0,6233·(1/150 + 1/150)) = 0,05595

Статистика критерия

z = (0,4 − 0,3533)/0,05595 = 0,8341

Ответ

z = 0,8341

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9558

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 511/6 = 85,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1905

Коэффициент детерминации

r² = 357²/(70·1905) = 0,9558

Ответ

r² = 0,9558

Прямая объясняет около 95,58% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 1,51

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 77/6 = 12,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 117

Линия регрессии

b = 117/70 = 1,671

a = 12,83 − 1,671·7 = 1,133

ŷ = 1,133 + 1,671·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 1,133 + 1,671·5 = 9,49

Остаток

e = 11 − 9,49 = 1,51

Ответ

e = 1,51

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1