Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 17, 48, 13, 25, 36, 34.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 58.

μ = 70σ = 10x = 58

z =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €5 с вероятностью 0,25 и €10 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€5: p = 0,25€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1131. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,1131

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

У 12 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 6,8 и стандартное отклонение 5. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 12d̄ = 6,8s_d = 590%t(11) = 1,796

E = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 14. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 14E = 499%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 79 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79s = 20n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 98 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 80 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 80n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 120Σy = 422Σx² = 2470Σy² = 30628Σxy = 8690

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 7). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 7)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,04

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 173/6 = 28,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−11,83)² + 19,17² + (−15,83)² + (−3,833)² + 7,167² + 5,167² = 850,8

Стандартное отклонение

s = √(850,8/5) = 13,04

Ответ

s = 13,04

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (58 − 70)/10 = −1,2

Ответ

z = −1,2

3.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,75 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 4 (p = 0,25), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,7)

Математическое ожидание

E(G) = 4·0,25 + 9·0,05 − 1·0,7 = 0,75 €

Ответ

E(G) = 0,75 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,21

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,1131 = 0,8869

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8869 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,21

Ответ

z = 1,21

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 48,55 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 баллов

Ответ

x = 48,55 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,592 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 11, t = 1,796

Предельная ошибка

E = 1,796·5/√12 = 2,592

Ответ

E = 2,592 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 82

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·14/4)² = 81,29

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 82

Ответ

n = 82

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Статистика критерия

t = (79 − 75)/3,333 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,116

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 80/150 = 0,5333

p̂ = 178/300 = 0,5933

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5933·0,4067·(1/150 + 1/150)) = 0,05672

Статистика критерия

z = (0,6533 − 0,5333)/0,05672 = 2,116

Ответ

z = 2,116

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9708

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 8690 − 120·422/6 = 250

S_xx = 2470 − 120²/6 = 70

S_yy = 30628 − 422²/6 = 947,3

Коэффициент корреляции

r = 250/√(70·947,3) = 0,9708

Ответ

r = 0,9708

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,05

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 57/5 = 11,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

Линия регрессии

b = 86/40 = 2,15

a = 11,4 − 2,15·6 = −1,5

ŷ = −1,5 + 2,15·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −1,5 + 2,15·3 = 4,95

Остаток

e = 7 − 4,95 = 2,05

Ответ

e = 2,05

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1