Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 53, 42, 55, 41, 30.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 44.

μ = 60σ = 20x = 44

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €30 с вероятностью 0,1 и €500 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€30: p = 0,1€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 113 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 90% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов90%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 54 и стандартное отклонение s = 5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 54s = 590%t(19) = 1,729

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 31. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 31E = 490%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 13 студентов, средний балл 33,5, стандартное отклонение 10. Группа 2: 8 студентов, средний балл 41,1, стандартное отклонение 2,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 13x̄₁ = 33,5s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 41,1s₂ = 2,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,01 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 102. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 100μ = 102σ = 5n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 65?

n = 6ŷ = 65

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,13

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 221/5 = 44,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 8,8² + (−2,2)² + 10,8² + (−3,2)² + (−14,2)² = 410,8

Стандартное отклонение

s = √(410,8/4) = 10,13

Ответ

s = 10,13

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (44 − 60)/20 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 154

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,15 + 30·0,2 + 40·0,35 = 26

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,15 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 830

Дисперсия

Var(X) = 830 − 26² = 154

Ответ

Var(X) = 154

4.Вероятность

Ответ: E(G) = −2 €

Чистые исходы

G: 20 (p = 0,1), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)

Математическое ожидание

E(G) = 20·0,1 + 490·0,01 − 10·0,89 = −2 €

Ответ

E(G) = −2 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1056

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 119,2 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 баллов

Ответ

x = 119,2 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 55,93

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Предельная ошибка

E = 1,729·5/√20 = 1,933

Интервал

54 ± 1,933 → [52,07, 55,93]

Ответ

верхняя граница = 55,93

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 163

Выразите n

n = (1,645·31/4)² = 162,5

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 163

Ответ

n = 163

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,09

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (12·10² + 7·2,5²)/19 = 65,46

s_p = 8,091

Стандартная ошибка

SE = 8,091·√(1/13 + 1/8) = 3,636

Статистика критерия

t = (33,5 − 41,1)/3,636 = −2,09

Ответ

t = −2,09

При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 37,22 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 100 + 2,326·1 = 102,3

z при истинном среднем

z = (102,3 − 102)/1 = 0,326

Мощность

мощность = P(Z > 0,326) = 37,22%

1 − β = 37,22%

Ответ

1 − β = 37,22%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,989

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 638

Коэффициент корреляции

r = 158/√(40·638) = 0,989

Ответ

r = 0,989

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 6,215

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 383/6 = 63,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 379

Линия регрессии

b = 379/70 = 5,414

a = 63,83 − 5,414·6 = 31,35

ŷ = 31,35 + 5,414·x

Найдите x

x = (65 − 31,35)/5,414 = 6,215

Ответ

x = 6,215

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1