Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 39, 27, 11, 15, 38.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений меньше 440?

μ = 500σ = 50x = 440

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,1€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них превышает 126,1 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,1 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 25% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов25%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 1,8. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по тем же данным?

90%n₁ = 100E₁ = 1,899%

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 9E = 499%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 55,25 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 55,25s = 20n = 64

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 49,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 49,8σ = 12n = 4995%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (17,5, 96). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(17,5, 96)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,85

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 130/5 = 26

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 13² + 1² + (−15)² + (−11)² + 12² = 660

Стандартное отклонение

s = √(660/4) = 12,85

Ответ

s = 12,85

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Ответ

P = 0,1151

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,2

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,6

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,35 = 8,2

Дисперсия

Var(X) = 8,2 − 2,6² = 1,44

σ = √1,44 = 1,2

Ответ

σ = 1,2

4.Вероятность

Ответ: E(G) = −0,5 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,1), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,85)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,1 + 45·0,05 − 5·0,85 = −0,5 €

Ответ

E(G) = −0,5 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1635

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (126,1 − 125)/1,118 = 0,98

Вероятность

P = 1 − Φ(0,98) = 0,1635

Ответ

P = 0,1635

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 90 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,67·15 = 90 баллов

Ответ

x = 90 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,819

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/100) = 1,566

Новая предельная ошибка

E₂ = 1,8·1,566 = 2,819

Ответ

E₂ = 2,819

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 34

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·9/4)² = 33,59

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 34

Ответ

n = 34

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Статистика критерия

t = (55,25 − 50)/2,5 = 2,1

Ответ

t = 2,1

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 53,16

Предельная ошибка

E = 1,96·12/√49 = 3,36

Граница интервала

U = 49,8 + 3,36 = 53,16

Ответ

U = 53,16

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9641

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 426/5 = 85,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1835

Коэффициент детерминации

r² = 399²/(90·1835) = 0,9641

Ответ

r² = 0,9641

Прямая объясняет около 96,41% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,8

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 610/5 = 122

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 576

Линия регрессии

b = 576/90 = 6,4

a = 122 − 6,4·22 = −18,8

ŷ = −18,8 + 6,4·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −18,8 + 6,4·17,5 = 93,2

Остаток

e = 96 − 93,2 = 2,8

Ответ

e = 2,8

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1