Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя
152025303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 25, 57, 11, 26.

n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Какая доля P значений больше 530?

μ = 500σ = 75x = 530
P =
3.ВероятностьСредняя
красные: 3синие: 5

В мешочке 3 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

3 / 5
P =
4.ВероятностьСложная
n = 10, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,25
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
247,5252,5P = ?

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 247,5 и 252,5 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x1 = 247,5x2 = 252,5
P =
6.Нормальное распределениеСложная
0,04 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
n = 21, s = 14,5L = ?Ux̄ = 23E99%

Выборка из 21 элементов имеет среднее 23 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 23s = 14,599%t(20) = 2,845
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
p ≈ 0,7, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0290%

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,7 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p ≈ 0,7E = 0,0290%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −1,9901,99

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 500,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,4s = 5n = 81
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 15E = 1,590%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy152263366466575682xy24650607080

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 404Σx² = 91Σy² = 27734Σxy = 1507
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy27496158151022xy510101520ŷ = 19

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 19?

n = 5ŷ = 19
x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,83

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 162/5 = 32,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 10,6² + (−7,4)² + 24,6² + (−21,4)² + (−6,4)² = 1271

Стандартное отклонение

s = √(1271/4) = 17,83

Ответ

s = 17,83
2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3446

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Ответ

P = 0,3446
3.Вероятность

Ответ: P = 0,1071

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071

Ответ

P = 0,1071
4.Вероятность

Ответ: P = 0,244

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7510 = 0,05631
P(X = 1) = 10·0,25·0,759 = 0,1877

Сложите

P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244

Ответ

P = 0,244
5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3829

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3829

Ответ

P = 0,3829
6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9868

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Ответ

P = 0,9868
7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 14

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Предельная ошибка

E = 2,845·14,5/√21 = 9,002

Интервал

23 ± 9,002 → [14, 32]

Ответ

нижняя граница = 14
8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1421

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,7·0,3/0,02² = 1421

Округлите вверх

n = 1421

Ответ

n = 1421
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,72

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерия

t = (500,4 − 500)/0,5556 = 0,72

Ответ

t = 0,72
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 271

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·15/1,5)² = 270,6

Округлите вверх

n = 271

Ответ

n = 271
11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9645

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 1507 − 21·404/6 = 93
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 27734 − 404²/6 = 531,3

Коэффициент корреляции

r = 93/√(17,5·531,3) = 0,9645

Ответ

r = 0,9645
12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 9

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 68/5 = 13,6

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

Линия регрессии

b = 72/40 = 1,8
a = 13,6 − 1,8·6 = 2,8
ŷ = 2,8 + 1,8·x

Найдите x

x = (19 − 2,8)/1,8 = 9

Ответ

x = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1