Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 36, 38, 12, 11.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 80?

μ = 70σ = 5x = 80

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,2, 0,2, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2Y = 3X + 4

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82 и 118,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 118,75

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 2 и стандартное отклонение 7,9. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 6d̄ = 2s_d = 7,999%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 33. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 33E = 1,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 60 деталей имеет среднюю длину 48 mm, известное стандартное отклонение линии 11 mm. Линия 2: выборка из 80 деталей имеет среднее 44,5 mm, известное стандартное отклонение 12 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 60x̄₁ = 48 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 80x̄₂ = 44,5 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 69,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 69,3σ = 20n = 6495%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4, 53). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(4, 53)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,81

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 133/5 = 26,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9,4² + 9,4² + 11,4² + (−14,6)² + (−15,6)² = 763,2

Стандартное отклонение

s = √(763,2/4) = 13,81

Ответ

s = 13,81

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,45

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,05 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,7

Дисперсия

Var(X) = 7,7 − 2,5² = 1,45

Ответ

Var(X) = 1,45

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 3,404

Разброс X

μ = 2,25, Var(X) = 1,288, σ_X = 1,135

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,135 = 3,404

Ответ

σ_Y = 3,404

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·2,25 + 4 = 10,75.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7793

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−1,2) = 0,8944 − 0,1151 = 0,7793

Ответ

P = 0,7793

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 593,1 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Ответ

x = 593,05 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 13 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·7,9/√6 = 13

Ответ

E = 13 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1310

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·33/1,5)² = 1310

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1310

Ответ

n = 1310

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,792

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(11²/60 + 12²/80) = √3,817 = 1,954

Статистика критерия

z = (48 − 44,5)/1,954 = 1,792

Ответ

z = 1,792

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 64,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·20/√64 = 4,9

Граница интервала

L = 69,3 − 4,9 = 64,4

Ответ

L = 64,4

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9811

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 75/6 = 12,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 189,5

Коэффициент корреляции

r = 113/√(70·189,5) = 0,9811

Ответ

r = 0,9811

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,5

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 287/5 = 57,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Линия регрессии

b = 116/40 = 2,9

a = 57,4 − 2,9·5 = 42,9

ŷ = 42,9 + 2,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 42,9 + 2,9·4 = 54,5

Остаток

e = 53 − 54,5 = −1,5

Ответ

e = −1,5

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1