Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 45, 35, 19, 35.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 47,5.

μ = 70σ = 15x = 47,5

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 5p = 0,6k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 45 и 70,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 70,5

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7,8 и стандартное отклонение 3,8. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 6d̄ = 7,8s_d = 3,890%t(5) = 2,015

верхняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 15 участков, средний урожай 46 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 55 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 46s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 55s₂ = 3,599%t(19) = 2,861

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

11 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2,39, стандартное отклонение разностей — 6,6. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 2,39s_d = 6,6

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 193,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 193,5σ = 12n = 2599%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 25Σy = 260Σx² = 135Σy² = 13614Σxy = 1321

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 51). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 51)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,61

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 152/5 = 30,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−12,4)² + 14,6² + 4,6² + (−11,4)² + 4,6² = 539,2

Стандартное отклонение

s = √(539,2/4) = 11,61

Ответ

s = 11,61

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (47,5 − 70)/15 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 3,55

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,1 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15,8

Дисперсия

Var(X) = 15,8 − 3,5² = 3,55

Ответ

Var(X) = 3,55

4.Вероятность

Ответ: P = 0,3456

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 10·0,6³·0,4² = 10·0,216·0,16 = 0,3456

Ответ

P = 0,3456

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6861

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−2) = 0,7088 − 0,02275 = 0,6861

Ответ

P = 0,6861

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 119,2 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 баллов

Ответ

x = 119,22 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 10,93 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 5, t = 2,015

Предельная ошибка

E = 2,015·3,8/√6 = 3,126

Интервал

7,8 ± 3,126 → [4,674, 10,93]

Ответ

верхняя граница = 10,93 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −13,84 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (14·3,5² + 5·3,5²)/19 = 12,25

s_p = 3,5

Предельная ошибка

E = 2,861·3,5·√(1/15 + 1/6) = 4,837

Интервал

−9 ± 4,837 → [−13,84, −4,163]

Ответ

нижняя граница = −13,84 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,201

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 6,6/√11 = 1,99

Статистика критерия

t = 2,39/1,99 = 1,201

Ответ

t = 1,201

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 187,3

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Граница интервала

L = 193,5 − 6,182 = 187,3

Ответ

L = 187,3

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,6849

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1321 − 25·260/5 = 21

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 13614 − 260²/5 = 94

Коэффициент корреляции

r = 21/√(10·94) = 0,6849

Ответ

r = 0,6849

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 288/6 = 48

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Линия регрессии

b = 124/17,5 = 7,086

a = 48 − 7,086·4,5 = 16,11

ŷ = 16,11 + 7,086·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 16,11 + 7,086·4,5 = 48

Остаток

e = 51 − 48 = 3

Ответ

e = 3

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1