Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 18, 47, 59, 15.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 470.

μ = 500σ = 60x = 470

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 490 и 574 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 574

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 11,2. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 225 наблюдений?

90%n₁ = 25E₁ = 11,2n₂ = 225

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 71 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 77,5 kg, стандартное отклонение 1 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 71s₁ = 9,5n₂ = 6x̄₂ = 77,5s₂ = 199%t(15) = 2,947

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 48,23 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,23s = 4n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 18. В действительности среднее равно 91.9. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 100μ = 91,9σ = 18n = 36α = 0,01

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 414Σx² = 285Σy² = 35314Σxy = 3096

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (7, 16). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(7, 16)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,78

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 172/5 = 34,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−1,4)² + (−16,4)² + 12,6² + 24,6² + (−19,4)² = 1411

Стандартное отклонение

s = √(1411/4) = 18,78

Ответ

s = 18,78

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (470 − 500)/60 = −0,5

Ответ

z = −0,5

3.Вероятность

Ответ: σ = 2,332

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 2·0,05 + 4·0,35 + 6·0,35 = 3,6

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,05 + 16·0,35 + 36·0,35 = 18,4

Дисперсия

Var(X) = 18,4 − 3,6² = 5,44

σ = √5,44 = 2,332

Ответ

σ = 2,332

4.Вероятность

Ответ: P = 0,7361

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9¹⁰ = 0,3487

P(X = 1) = 10·0,1·0,9⁹ = 0,3874

Сложите

P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

Ответ

P = 0,7361

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5665

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−0,25) = 0,9678 − 0,4013 = 0,5665

Ответ

P = 0,5665

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 256,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Ответ

x = 256,41 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 3,733

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/225) = 0,3333

Новая предельная ошибка

E₂ = 11,2·0,3333 = 3,733

Ответ

E₂ = 3,733

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 11,63 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (10·9,5² + 5·1²)/15 = 60,5

s_p = 7,778

Предельная ошибка

E = 2,947·7,778·√(1/11 + 1/6) = 11,63

Ответ

E = 11,63 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,098

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Статистика критерия

t = (48,23 − 50)/0,5714 = −3,098

Ответ

t = −3,098

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 64,58 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 100 − 2,326·3 = 93,02

z при истинном среднем

z = (93,02 − 91,9)/3 = 0,374

Мощность

мощность = P(Z < 0.374) = 64.58%

1 − β = 64,58%

Ответ

1 − β = 64,58%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9732

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 3096 − 35·414/5 = 198

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 35314 − 414²/5 = 1035

Коэффициент корреляции

r = 198/√(40·1035) = 0,9732

Ответ

r = 0,9732

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,65

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 76/5 = 15,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Линия регрессии

b = 98/40 = 2,45

a = 15,2 − 2,45·6 = 0,5

ŷ = 0,5 + 2,45·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 0,5 + 2,45·7 = 17,65

Остаток

e = 16 − 17,65 = −1,65

Ответ

e = −1,65

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1