Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 47, 26, 13, 54, 19, 33, 32.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 80?

μ = 70σ = 8x = 80

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 3 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

3 / 4

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 20 и 38 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 38

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 40% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 43,5 и стандартное отклонение s = 5,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 43,5s = 5,599%t(8) = 3,355

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.

n = 10s = 5 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 499,3 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 4n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 121. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 121σ = 4n = 8199%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 144Σx² = 55Σy² = 4318Σxy = 472

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 126?

n = 5ŷ = 126

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,58

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 224/7 = 32

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15² + (−6)² + (−19)² + 22² + (−13)² + 1² + 0² = 1276

Стандартное отклонение

s = √(1276/6) = 14,58

Ответ

s = 14,58

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

3.Вероятность

Ответ: P = 0,1429

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429

Ответ

P = 0,1429

4.Вероятность

Ответ: P = 0,113

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Сложите

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Ответ

P = 0,113

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8186

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(−2) = 0,8413 − 0,02275 = 0,8186

Ответ

P = 0,8186

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 490 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,4

z из таблицы

z ≈ −0,25

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Ответ

x = 490 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,151

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Предельная ошибка

E = 3,355·5,5/√9 = 6,151

Ответ

E = 6,151

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 3,439 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 9·5² = 225

Границы для σ²

225/19,023 = 11,83

225/2,7 = 83,33

Граница для σ

σ = √11,83 = 3,439 µm

Ответ

σ = 3,439 µm

95 % интервал для σ: [3,439, 9,129] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,875

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерия

t = (499,3 − 500)/0,8 = −0,875

Ответ

t = −0,875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 122,1

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√81 = 1,145

Граница интервала

U = 121 + 1,145 = 122,1

Ответ

U = 122,1

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9679

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 472 − 15·144/5 = 40

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 4318 − 144²/5 = 170,8

Коэффициент корреляции

r = 40/√(10·170,8) = 0,9679

Ответ

r = 0,9679

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 21,46

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 588/5 = 117,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 519

Линия регрессии

b = 519/90 = 5,767

a = 117,6 − 5,767·20 = 2,267

ŷ = 2,267 + 5,767·x

Найдите x

x = (126 − 2,267)/5,767 = 21,46

Ответ

x = 21,46

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1