Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 58, 48, 26, 25, 43, 21, 48.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 40?
μ = 50σ = 20x = 40
P =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.
n = 10k = 2
N =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 12p = 0,25
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 117,8 s. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 75% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
7.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 54 h, известное стандартное отклонение 7 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 58,5 h, известное стандартное отклонение 7 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 54 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 58,5 hσ₂ = 7 h99%
нижняя граница = h
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 17E = 0,590%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 70,87 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,87s = 12n = 81
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 9. Найдите минимальный объём выборки n.
α = 0,01мощность = 95%δ = 4σ = 9zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 50). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 50)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 14,29
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 269/7 = 38,43
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 19,57² + 9,571² + (−12,43)² + (−13,43)² + 4,571² + (−17,43)² + 9,571² = 1226
Стандартное отклонение
s = √(1226/6) = 14,29
Ответ
s = 14,29
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,3085
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблица нормального распределения
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Ответ
P = 0,3085
3.Вероятность
Ответ: N = 45
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Ответ
N = 45
4.Вероятность
Ответ: P = 0,1584
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,7512 = 0,03168
P(X = 1) = 12·0,25·0,7511 = 0,1267
Сложите
P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584
Ответ
P = 0,1584
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,02275
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Стандартизуйте
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Верхний хвост
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 473 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,25
z из таблицы
z ≈ −0,67
Возврат к исходным единицам
x = 500 − 0,67·40 = 473 h
Ответ
x = 473 h
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −7,992 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 54 − 58,5 = −4,5
Стандартная ошибка
SE = √(7²/80 + 7²/40) = 1,356
Предельная ошибка
E = 2,576·1,356 = 3,492
Интервал
−4,5 ± 3,492 → [−7,992, −1,008]
Ответ
нижняя граница = −7,992 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 3129
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·17/0,5)² = 3128
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 3129
Ответ
n = 3129
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,097
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
Статистика критерия
t = (70,87 − 75)/1,333 = −3,097
Ответ
t = −3,097
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 80
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((2,326 + 1,645)·9/4)² = 79,83
Округлите вверх
n = 80
Ответ
n = 80
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9802
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 742/6 = 123,7
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 765
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3867
Коэффициент корреляции
r = 765/√(157,5·3867) = 0,9802
Ответ
r = 0,9802
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −4,662
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 401/6 = 66,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106,5
Линия регрессии
b = 106,5/17,5 = 6,086
a = 66,83 − 6,086·5,5 = 33,36
ŷ = 33,36 + 6,086·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 33,36 + 6,086·3,5 = 54,66
Остаток
e = 50 − 54,66 = −4,662
Ответ
e = −4,662
Точка лежит ниже прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1