Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 56, 54, 37, 54, 14.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Найдите z-оценку z для результата 400.
μ = 500σ = 50x = 400
z =
3.ВероятностьСредняя
В мешочке 6 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
6 / 7
P =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 11p = 0,1
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 45,5 и 75,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 65σ = 10x1 = 45,5x2 = 75,5
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 53,5 и стандартное отклонение s = 18. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 53,5s = 1895%t(14) = 2,145
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 20. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 20E = 399%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 74,5 mm, известное стандартное отклонение линии 3 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 76,9 mm, известное стандартное отклонение 15 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).
n₁ = 100x̄₁ = 74,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 76,9 mmσ₂ = 15 mm
z =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 10E = 195%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 16,78
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 246/6 = 41
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−10)² + 15² + 13² + (−4)² + 13² + (−27)² = 1408
Стандартное отклонение
s = √(1408/5) = 16,78
Ответ
s = 16,78
2.Описательная статистика
Ответ: z = −2
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (400 − 500)/50 = −2
Ответ
z = −2
3.Вероятность
Ответ: P = 0,1923
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923
Ответ
P = 0,1923
4.Вероятность
Ответ: P = 0,6974
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,911 = 0,3138
P(X = 1) = 11·0,1·0,910 = 0,3835
Сложите
P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974
Ответ
P = 0,6974
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8276
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95
z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05
Площадь между
P = Φ(1,05) − Φ(−1,95) = 0,8531 − 0,02559 = 0,8276
Ответ
P = 0,8276
6.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7881
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Вероятность
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Ответ
P = 0,7881
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 43,53
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Предельная ошибка
E = 2,145·18/√15 = 9,969
Интервал
53,5 ± 9,969 → [43,53, 63,47]
Ответ
нижняя граница = 43,53
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 295
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·20/3)² = 294,9
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 295
Ответ
n = 295
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,569
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартная ошибка разности
SE = √(3²/100 + 15²/100) = √2,34 = 1,53
Статистика критерия
z = (74,5 − 76,9)/1,53 = −1,569
Ответ
z = −1,569
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·10/1)² = 384,2
Округлите вверх
n = 385
Ответ
n = 385
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9954
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 133/5 = 26,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Syy = Σ(y − ȳ)² = 729,2
Коэффициент корреляции
r = 170/√(40·729,2) = 0,9954
Ответ
r = 0,9954
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 21,2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12
Линия регрессии
b = −12/10 = −1,2
a = 20,6 − (−1,2)·3 = 24,2
ŷ = 24,2 − 1,2·x
Прогноз
ŷ = 24,2 + (−1,2)·2,5 = 21,2
Ответ
ŷ = 21,2
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1