Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 51, 13, 27, 42, 26, 46.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 103,2.
μ = 100σ = 8x = 103,2
z =
3.ВероятностьСредняя
В мешочке 4 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
4 / 4
P =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 6p = 0,5
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них меньше 139,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 139.8 kg
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 12 элементов имеет среднее 89,5 и стандартное отклонение s = 2,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 12x̄ = 89,5s = 2,590%t(11) = 1,796
верхняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 86 kg, стандартное отклонение 2 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 83 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 86s₁ = 2n₂ = 8x̄₂ = 83s₂ = 6,590%t(15) = 1,753
нижняя граница = kg
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
8 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −7,59, стандартное отклонение разностей — 7,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −7,59sd = 7,4
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 10E = 195%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 94?
n = 5ŷ = 94
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 14,5
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 205/6 = 34,17
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 16,83² + (−21,17)² + (−7,167)² + 7,833² + (−8,167)² + 11,83² = 1051
Стандартное отклонение
s = √(1051/5) = 14,5
Ответ
s = 14,5
2.Описательная статистика
Ответ: z = 0,4
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (103,2 − 100)/8 = 0,4
Ответ
z = 0,4
3.Вероятность
Ответ: P = 0,2143
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Ответ
P = 0,2143
4.Вероятность
Ответ: P = 0,1094
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,56 = 0,01563
P(X = 1) = 6·0,5·0,55 = 0,09375
Сложите
P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094
Ответ
P = 0,1094
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,06426
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
Стандартизуйте
z = (139,8 − 144)/2,771 = −1,52
Вероятность
P = Φ(−1,52) = 0,06426
Ответ
P = 0,06426
6.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8849
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Ответ
P = 0,8849
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 90,8
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Предельная ошибка
E = 1,796·2,5/√12 = 1,296
Интервал
89,5 ± 1,296 → [88,2, 90,8]
Ответ
верхняя граница = 90,8
8.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −0,9817 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (8·2² + 7·6,5²)/15 = 21,85
sp = 4,674
Предельная ошибка
E = 1,753·4,674·√(1/9 + 1/8) = 3,982
Интервал
3 ± 3,982 → [−0,9817, 6,982]
Ответ
нижняя граница = −0,9817 kg
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,901
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 7,4/√8 = 2,616
Статистика критерия
t = −7,59/2,616 = −2,901
Ответ
t = −2,901
При df = 7 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,365; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·10/1)² = 384,2
Округлите вверх
n = 385
Ответ
n = 385
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9821
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 87,2
Коэффициент корреляции
r = −29/√(10·87,2) = −0,9821
Ответ
r = −0,9821
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 21,92
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 408/5 = 81,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Линия регрессии
b = 170/40 = 4,25
a = 81,6 − 4,25·19 = 0,85
ŷ = 0,85 + 4,25·x
Найдите x
x = (94 − 0,85)/4,25 = 21,92
Ответ
x = 21,92
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1