Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 24, 43, 34, 29, 49.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 200.
μ = 170σ = 20x = 200
z =
3.ВероятностьСредняя
В мешочке 6 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
6 / 4
P =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 8p = 0,25
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9233. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,9233
z =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 6 элементов имеет среднее 52 и стандартное отклонение s = 14. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 6x̄ = 52s = 1495%t(5) = 2,571
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 12E = 290%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
9 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 5,53, стандартное отклонение разностей — 7,9. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = 5,53sd = 7,9
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 12.5. В действительности среднее равно 77. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 80μ = 77σ = 12,5n = 25α = 0,10
β = %
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 15Σy = 95Σx² = 55Σy² = 1849Σxy = 265
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 91?
n = 6ŷ = 91
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 10,18
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 179/5 = 35,8
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−11,8)² + 7,2² + (−1,8)² + (−6,8)² + 13,2² = 414,8
Стандартное отклонение
s = √(414,8/4) = 10,18
Ответ
s = 10,18
2.Описательная статистика
Ответ: z = 1,5
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (200 − 170)/20 = 1,5
Ответ
z = 1,5
3.Вероятность
Ответ: P = 0,3333
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333
Ответ
P = 0,3333
4.Вероятность
Ответ: P = 0,3671
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Сложите
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Ответ
P = 0,3671
5.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,77
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,9233)/2 = 0,9616
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,9616 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,77
Ответ
z = 1,77
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 241,8 g
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Обратно к x
x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g
Ответ
x = 241,78 g
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 37,31
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Предельная ошибка
E = 2,571·14/√6 = 14,69
Интервал
52 ± 14,69 → [37,31, 66,69]
Ответ
нижняя граница = 37,31
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 98
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·12/2)² = 97,42
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 98
Ответ
n = 98
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 7,9/√9 = 2,633
Статистика критерия
t = 5,53/2,633 = 2,1
Ответ
t = 2,1
При df = 8 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,306; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 53,27 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 80 − 1,282·2,5 = 76,8
z при истинном среднем
z = (76,8 − 77)/2,5 = −0,082
Ошибка второго рода
мощность = P(Z < −0.082) = 46.73%
β = 100% − 46,73% = 53,27%
Ответ
β = 53,27%
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9535
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 265 − 15·95/5 = −20
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1849 − 95²/5 = 44
Коэффициент корреляции
r = −20/√(10·44) = −0,9535
Ответ
r = −0,9535
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 12
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 425/6 = 70,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 353
Линия регрессии
b = 353/70 = 5,043
a = 70,83 − 5,043·8 = 30,49
ŷ = 30,49 + 5,043·x
Найдите x
x = (91 − 30,49)/5,043 = 12
Ответ
x = 12
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1