Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 39, 39, 58, 52, 42, 59.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 94?

μ = 70σ = 12x = 94

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,15 и €100 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€20: p = 0,15€100: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 422 и 542 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 542

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

У 11 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −8,4 и стандартное отклонение 5,8. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 11d̄ = −8,4s_d = 5,899%t(10) = 3,169

верхняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 30,5 kg, стандартное отклонение 1 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 26,5 kg, стандартное отклонение 5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 30,5s₁ = 1n₂ = 7x̄₂ = 26,5s₂ = 590%t(12) = 1,782

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 13 студентов, средний балл 77, стандартное отклонение 6,5. Группа 2: 9 студентов, средний балл 84,8, стандартное отклонение 4. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 13x̄₁ = 77s₁ = 6,5n₂ = 9x̄₂ = 84,8s₂ = 4

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 36 измерений имеет среднее 119. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 119σ = 5n = 3699%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (23, 137). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(23, 137)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 9,326

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 289/6 = 48,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−9,167)² + (−9,167)² + 9,833² + 3,833² + (−6,167)² + 10,83² = 434,8

Стандартное отклонение

s = √(434,8/5) = 9,326

Ответ

s = 9,326

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: σ = 10,2

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,25 + 20·0,25 + 30·0,35 + 40·0,15 = 24

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,25 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 680

Дисперсия

Var(X) = 680 − 24² = 104

σ = √104 = 10,2

Ответ

σ = 10,2

4.Вероятность

Ответ: E(G) = −2 €

Чистые исходы

G: 10 (p = 0,15), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,8)

Математическое ожидание

E(G) = 10·0,15 + 90·0,05 − 10·0,8 = −2 €

Ответ

E(G) = −2 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8276

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(−1,95) = 0,8531 − 0,02559 = 0,8276

Ответ

P = 0,8276

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 39,69 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Ответ

x = 39,69 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −2,858 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 10, t = 3,169

Предельная ошибка

E = 3,169·5,8/√11 = 5,542

Интервал

−8,4 ± 5,542 → [−13,94, −2,858]

Ответ

верхняя граница = −2,858 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 0,5656 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (6·1² + 6·5²)/12 = 13

s_p = 3,606

Предельная ошибка

E = 1,782·3,606·√(1/7 + 1/7) = 3,434

Интервал

4 ± 3,434 → [0,5656, 7,434]

Ответ

нижняя граница = 0,5656 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,192

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (12·6,5² + 8·4²)/20 = 31,75

s_p = 5,635

Стандартная ошибка

SE = 5,635·√(1/13 + 1/9) = 2,443

Статистика критерия

t = (77 − 84,8)/2,443 = −3,192

Ответ

t = −3,192

При df = 20 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,086; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 116,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·5/√36 = 2,147

Граница интервала

L = 119 − 2,147 = 116,9

Ответ

L = 116,9

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,98

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 205/5 = 41

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 574

Коэффициент детерминации

r² = 150²/(40·574) = 0,98

Ответ

r² = 0,98

Прямая объясняет около 98% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,424

Средние

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 641/6 = 106,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 433

Линия регрессии

b = 433/70 = 6,186

a = 106,8 − 6,186·19 = −10,7

ŷ = −10,7 + 6,186·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −10,7 + 6,186·23 = 131,6

Остаток

e = 137 − 131,6 = 5,424

Ответ

e = 5,424

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1