Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 36, 14, 40, 31, 23, 45.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 43,6.

μ = 50σ = 8x = 43,6

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 30 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 118,5 и стандартное отклонение s = 11,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 118,5s = 11,599%t(9) = 3,25

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 20. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 20E = 495%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 205,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 205,3s = 15n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 39 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 39n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 225Σx² = 55Σy² = 10139Σxy = 683

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 26). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 26)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,57

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 225/7 = 32,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3,857² + 3,857² + (−18,14)² + 7,857² + (−1,143)² + (−9,143)² + 12,86² = 670,9

Стандартное отклонение

s = √(670,9/6) = 10,57

Ответ

s = 10,57

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (43,6 − 50)/8 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: N = 66

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Ответ

N = 66

4.Вероятность

Ответ: P = 0,0625

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁷ = 0,007813

P(X = 1) = 7·0,5·0,5⁶ = 0,05469

Сложите

P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625

Ответ

P = 0,0625

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 26,95 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Ответ

x = 26,95 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 106,7

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Предельная ошибка

E = 3,25·11,5/√10 = 11,82

Интервал

118,5 ± 11,82 → [106,7, 130,3]

Ответ

нижняя граница = 106,7

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 97

Выразите n

n = (1,96·20/4)² = 96,04

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 97

Ответ

n = 97

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,12

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерия

t = (205,3 − 200)/2,5 = 2,12

Ответ

t = 2,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,633

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 60/120 = 0,5

p̂₂ = 39/100 = 0,39

p̂ = 99/220 = 0,45

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,45·0,55·(1/120 + 1/100)) = 0,06736

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,39)/0,06736 = 1,633

Ответ

z = 1,633

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,6761

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 683 − 15·225/5 = 8

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 10139 − 225²/5 = 14

Коэффициент корреляции

r = 8/√(10·14) = 0,6761

Ответ

r = 0,6761

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,85

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 120/5 = 24

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Линия регрессии

b = −19/10 = −1,9

a = 24 − (−1,9)·3 = 29,7

ŷ = 29,7 − 1,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 29,7 + (−1,9)·4,5 = 21,15

Остаток

e = 26 − 21,15 = 4,85

Ответ

e = 4,85

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1