Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 10, 40, 30, 21, 15, 10, 10.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 174,8?
μ = 170σ = 12x = 174,8
P =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 14 человек? Порядок не важен.
n = 14k = 5
N =
4.ВероятностьСложная
В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?
n = 9p = 0,3k = 1
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 1041 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1041 kg
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 80% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 11 элементов имеет среднее 84,5 и стандартное отклонение s = 4. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 11x̄ = 84,5s = 499%t(10) = 3,169
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,6 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?
p ≈ 0,6E = 0,0399%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 122,1 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,1s = 12n = 16
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 15E = 2,595%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 27Σy = 417Σx² = 139Σy² = 29731Σxy = 1990
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 17.
n = 5x = 17
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 11,72
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 136/7 = 19,43
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−9,429)² + 20,57² + 10,57² + 1,571² + (−4,429)² + (−9,429)² + (−9,429)² = 823,7
Стандартное отклонение
s = √(823,7/6) = 11,72
Ответ
s = 11,72
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,3446
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблица нормального распределения
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Ответ
P = 0,3446
3.Вероятность
Ответ: N = 2002
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
Ответ
N = 2002
4.Вероятность
Ответ: P = 0,1556
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 1) = 9·0,31·0,78 = 9·0,3·0,05765 = 0,1556
Ответ
P = 0,1556
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,3085
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Стандартизуйте
z = (1041 − 1020)/41,57 = 0,5
Вероятность
P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085
Ответ
P = 0,3085
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 466 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,2
z из таблицы
z ≈ −0,84
Возврат к исходным единицам
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Ответ
x = 466 h
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 80,68
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Предельная ошибка
E = 3,169·4/√11 = 3,822
Интервал
84,5 ± 3,822 → [80,68, 88,32]
Ответ
нижняя граница = 80,68
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1770
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 2,576²·0,6·0,4/0,03² = 1770
Округлите вверх
n = 1770
Ответ
n = 1770
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 0,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Статистика критерия
t = (122,1 − 120)/3 = 0,7
Ответ
t = 0,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 139
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·15/2,5)² = 138,3
Округлите вверх
n = 139
Ответ
n = 139
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,991
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 1990 − 27·417/6 = 113,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 29731 − 417²/6 = 749,5
Коэффициент корреляции
r = 113,5/√(17,5·749,5) = 0,991
Ответ
r = 0,991
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 57,2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 306/5 = 61,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Линия регрессии
b = 160/40 = 4
a = 61,2 − 4·18 = −10,8
ŷ = −10,8 + 4·x
Прогноз
ŷ = −10,8 + 4·17 = 57,2
Ответ
ŷ = 57,2
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1