Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 22, 40, 58, 27, 30, 49.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 182?

μ = 170σ = 8x = 182

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,05, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 783 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 783 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 10% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов10%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 106,5 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 106,5s = 17,590%t(5) = 2,015

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8,3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.

n = 15s = 8,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

15 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −3,4, стандартное отклонение разностей — 9,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = −3,4s_d = 9,4

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 87. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 80μ = 87σ = 15n = 36α = 0,10

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 129Σy = 751Σx² = 2931Σy² = 100919Σxy = 17183

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (10, 54). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(10, 54)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,89

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 226/6 = 37,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−15,67)² + 2,333² + 20,33² + (−10,67)² + (−7,667)² + 11,33² = 965,3

Стандартное отклонение

s = √(965,3/5) = 13,89

Ответ

s = 13,89

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,29

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,05 + 4·0,25 + 5·0,2 = 2,9

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,05 + 16·0,25 + 25·0,2 = 10,7

Дисперсия

Var(X) = 10,7 − 2,9² = 2,29

Ответ

Var(X) = 2,29

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 11,17

Разброс X

μ = 1,55, Var(X) = 1,248, σ_X = 1,117

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,117 = 11,17

Ответ

σ_Y = 11,17

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·1,55 + 10 = 25,5.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Стандартизуйте

z = (783 − 765)/36 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 119,2 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 баллов

Ответ

x = 119,2 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 14,4

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Предельная ошибка

E = 2,015·17,5/√6 = 14,4

Ответ

E = 14,4

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 6,077 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 14·8,3² = 964,5

Границы для σ²

964,5/26,119 = 36,93

964,5/5,629 = 171,3

Граница для σ

σ = √36,93 = 6,077 µm

Ответ

σ = 6,077 µm

95 % интервал для σ: [6,077, 13,09] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 9,4/√15 = 2,427

Статистика критерия

t = −3,4/2,427 = −1,401

Ответ

t = −1,401

При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 93,55 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 80 + 1,282·2,5 = 83,2

z при истинном среднем

z = (83,2 − 87)/2,5 = −1,518

Мощность

мощность = P(Z > −1,518) = 93,55%

1 − β = 93,55%

Ответ

1 − β = 93,55%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9929

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 17183 − 129·751/6 = 1037

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 100919 − 751²/6 = 6919

Коэффициент корреляции

r = 1037/√(157,5·6919) = 0,9929

Ответ

r = 0,9929

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,848

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 326/6 = 54,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Линия регрессии

b = 158/70 = 2,257

a = 54,33 − 2,257·8 = 36,28

ŷ = 36,28 + 2,257·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 36,28 + 2,257·10 = 58,85

Остаток

e = 54 − 58,85 = −4,848

Ответ

e = −4,848

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1