Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 42, 48, 32, 32, 18.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 40?

μ = 60σ = 10x = 40

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 5 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

5 / 7

P =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €6 с вероятностью 0,25 и €60 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€6: p = 0,25€60: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6265. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6265

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 112 и стандартное отклонение s = 6,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 112s = 6,595%t(20) = 2,086

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 21E = 2,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 125,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 125,8s = 20n = 100

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 12. В действительности среднее равно 103,9. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 100μ = 103,9σ = 12n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 31?

n = 5ŷ = 31

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,44

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 172/5 = 34,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7,6² + 13,6² + (−2,4)² + (−2,4)² + (−16,4)² = 523,2

Стандартное отклонение

s = √(523,2/4) = 11,44

Ответ

s = 11,44

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

3.Вероятность

Ответ: P = 0,1515

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Ответ

P = 0,1515

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,5 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 1,5 €

Ответ

E(G) = 1,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,89

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6265)/2 = 0,8133

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8133 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,89

Ответ

z = 0,89

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 81,45 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 баллов

Ответ

x = 81,45 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,959

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Предельная ошибка

E = 2,086·6,5/√21 = 2,959

Ответ

E = 2,959

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 191

Выразите n

n = (1,645·21/2,5)² = 190,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 191

Ответ

n = 191

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Статистика критерия

t = (125,8 − 120)/2 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 60,8 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 100 + 2,326·1,5 = 103,5

z при истинном среднем

z = (103,5 − 103,9)/1,5 = −0,274

Мощность

мощность = P(Z > −0,274) = 60,8%

1 − β = 60,8%

Ответ

1 − β = 60,8%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9525

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 99,2

Коэффициент корреляции

r = 60/√(40·99,2) = 0,9525

Ответ

r = 0,9525

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,462

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 152/5 = 30,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 13

Линия регрессии

b = 13/10 = 1,3

a = 30,4 − 1,3·3 = 26,5

ŷ = 26,5 + 1,3·x

Найдите x

x = (31 − 26,5)/1,3 = 3,462

Ответ

x = 3,462

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1