Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 59, 58, 34, 60.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 162,5?

μ = 170σ = 15x = 162,5

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,15, 0,15, 0,25, 0,15

σ =

4.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 8p = 0,4k = 2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9884. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9884

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 30% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 52,5 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 52,5s = 999%t(14) = 2,977

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 8 участков, средний урожай 88 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 99 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 88s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 99s₂ = 290%t(12) = 1,782

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 10. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 52,64. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ > 50. Найдите p-значение p.

μ₀ = 50σ = 10n = 25x̄ = 52,64H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 24 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 43 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 43n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 105Σy = 448Σx² = 2245Σy² = 40886Σxy = 9566

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 111?

n = 6ŷ = 111

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,2

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 270/5 = 54

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 5² + 5² + 4² + (−20)² + 6² = 502

Стандартное отклонение

s = √(502/4) = 11,2

Ответ

s = 11,2

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,47

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,25 + 5·0,15 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,25 + 25·0,15 = 10

Дисперсия

Var(X) = 10 − 2,8² = 2,16

σ = √2,16 = 1,47

Ответ

σ = 1,47

4.Вероятность

Ответ: P = 0,209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 28·0,4²·0,6⁶ = 28·0,16·0,04666 = 0,209

Ответ

P = 0,209

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −2,27

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9884 = 0,0116

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0116 внутри таблицы и считайте z.

z = −2,27

Ответ

z = −2,27

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 479 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Ответ

x = 479 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,918

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Предельная ошибка

E = 2,977·9/√15 = 6,918

Ответ

E = 6,918

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −12,66 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (7·1,5² + 5·2²)/12 = 2,979

s_p = 1,726

Предельная ошибка

E = 1,782·1,726·√(1/8 + 1/6) = 1,661

Интервал

−11 ± 1,661 → [−12,66, −9,339]

Ответ

нижняя граница = −12,66 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,09342

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (52,64 − 50)/2 = 1,32

Площадь хвоста

Φ(1,32) = 0,9066

1 − Φ(1,32) = 0,0934

p-значение

p = 0,09342

Ответ

p = 0,09342

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,793

Выборочные доли

p̂₁ = 24/80 = 0,3

p̂₂ = 43/100 = 0,43

p̂ = 67/180 = 0,3722

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3722·0,6278·(1/80 + 1/100)) = 0,07251

Статистика критерия

z = (0,3 − 0,43)/0,07251 = −1,793

Ответ

z = −1,793

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9151

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 9566 − 105·448/5 = 158

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 40886 − 448²/5 = 745,2

Коэффициент корреляции

r = 158/√(40·745,2) = 0,9151

Ответ

r = 0,9151

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 12

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 527/6 = 87,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405

Линия регрессии

b = 405/70 = 5,786

a = 87,83 − 5,786·8 = 41,55

ŷ = 41,55 + 5,786·x

Найдите x

x = (111 − 41,55)/5,786 = 12

Ответ

x = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1