Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 48, 21, 14, 11, 52, 15, 17.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Какая доля P значений больше 516?
μ = 500σ = 40x = 516
P =
3.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 8 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 8
P =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 4. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,15, 0,15, 0,3Y = 5X + 4
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 95,4 s. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95,4 s
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
7.Доверительные интервалыСредняя
У 13 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7,9 и стандартное отклонение 2,4. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.
n = 13d̄ = 7,9sd = 2,495%t(12) = 2,179
верхняя граница = mmHg
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 26. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?
σ = 26E = 599%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 46,4 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,4s = 20n = 100
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 12. В действительности среднее равно 97. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 100μ = 97σ = 12n = 36α = 0,05
1 − β = %
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 42Σy = 160Σx² = 364Σy² = 5068Σxy = 1356
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 20.
n = 5x = 20
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 17,1
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 178/7 = 25,43
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 22,57² + (−4,429)² + (−11,43)² + (−14,43)² + 26,57² + (−10,43)² + (−8,429)² = 1754
Стандартное отклонение
s = √(1754/6) = 17,1
Ответ
s = 17,1
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,3446
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблица нормального распределения
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Ответ
P = 0,3446
3.Вероятность
Ответ: P = 0,7674
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Ответ
P = 0,7674
4.Вероятность
Ответ: σY = 7,628
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 2,15, Var(X) = 2,327, σX = 1,526
Линейное преобразование
σY = |5|·1,526 = 7,628
Ответ
σY = 7,628
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,15 + 4 = 14,75.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9332
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Стандартизуйте
z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5
Верхний хвост
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 593,1 h
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Обратно к x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Ответ
x = 593,05 h
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 9,35 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 12, t = 2,179
Предельная ошибка
E = 2,179·2,4/√13 = 1,45
Интервал
7,9 ± 1,45 → [6,45, 9,35]
Ответ
верхняя граница = 9,35 mmHg
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 180
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·26/5)² = 179,4
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 180
Ответ
n = 180
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,8
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Статистика критерия
t = (46,4 − 50)/2 = −1,8
Ответ
t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 44,24 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 100 − 1,645·2 = 96,71
z при истинном среднем
z = (96,71 − 97)/2 = −0,145
Мощность
мощность = P(Z < −0.145) = 44.24%
1 − β = 44,24%
Ответ
1 − β = 44,24%
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9965
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 1356 − 42·160/6 = 236
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5068 − 160²/6 = 801,3
Коэффициент корреляции
r = 236/√(70·801,3) = 0,9965
Ответ
r = 0,9965
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 52,9
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 253/5 = 50,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Линия регрессии
b = 92/40 = 2,3
a = 50,6 − 2,3·19 = 6,9
ŷ = 6,9 + 2,3·x
Прогноз
ŷ = 6,9 + 2,3·20 = 52,9
Ответ
ŷ = 52,9
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1