Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 51, 11, 48, 48.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 85?

μ = 60σ = 20x = 85

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,2, 0,2, 0,3, 0,25

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15Y = −2X + 1

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 28,3 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов90%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 74,5 и стандартное отклонение s = 10. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 74,5s = 1099%t(5) = 4,032

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 4. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 4E = 1,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 95,6 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,6s = 8n = 16

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 65 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 72 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 72n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 100Σy = 217Σx² = 2040Σy² = 9835Σxy = 4446

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 18). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 18)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,62

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 193/5 = 38,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−3,6)² + 12,4² + (−27,6)² + 9,4² + 9,4² = 1105

Стандартное отклонение

s = √(1105/4) = 16,62

Ответ

s = 16,62

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Ответ

P = 0,8944

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,204

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,05 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,7

Дисперсия

Var(X) = 7,7 − 2,5² = 1,45

σ = √1,45 = 1,204

Ответ

σ = 1,204

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,04

Разброс X

μ = 2,4, Var(X) = 1,04, σ_X = 1,02

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·1,02 = 2,04

Ответ

σ_Y = 2,04

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·2,4 + 1 = −3,8.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9306

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Ответ

P = 0,9306

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 52,2 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 баллов

Ответ

x = 52,2 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 58,04

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·10/√6 = 16,46

Интервал

74,5 ± 16,46 → [58,04, 90,96]

Ответ

нижняя граница = 58,04

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 48

Выразите n

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 48

Ответ

n = 48

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Статистика критерия

t = (95,6 − 100)/2 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,066

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 65/100 = 0,65

p̂₂ = 72/100 = 0,72

p̂ = 137/200 = 0,685

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,685·0,315·(1/100 + 1/100)) = 0,06569

Статистика критерия

z = (0,65 − 0,72)/0,06569 = −1,066

Ответ

z = −1,066

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8205

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 4446 − 100·217/5 = 106

S_xx = 2040 − 100²/5 = 40

S_yy = 9835 − 217²/5 = 417,2

Коэффициент корреляции

r = 106/√(40·417,2) = 0,8205

Ответ

r = 0,8205

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,05

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 123/5 = 24,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

Линия регрессии

b = 142/40 = 3,55

a = 24,6 − 3,55·6 = 3,3

ŷ = 3,3 + 3,55·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,3 + 3,55·3 = 13,95

Остаток

e = 18 − 13,95 = 4,05

Ответ

e = 4,05

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1