Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 37, 23, 25, 37, 29, 14, 57.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Найдите z-оценку z для результата 468.

μ = 500σ = 40x = 468

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 8 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

8 / 9

P =

4.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 9p = 0,7k = 5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 53 и 85 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 85

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 30% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 93,5 и стандартное отклонение s = 10. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 93,5s = 1095%t(19) = 2,093

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 33. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 33E = 2,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 197,3 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,3s = 12n = 64

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 50 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 116 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 116n₂ = 200

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 66). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(9, 66)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,77

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 222/7 = 31,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 5,286² + (−8,714)² + (−6,714)² + 5,286² + (−2,714)² + (−17,71)² + 25,29² = 1137

Стандартное отклонение

s = √(1137/6) = 13,77

Ответ

s = 13,77

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (468 − 500)/40 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: P = 0,2059

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

Ответ

P = 0,2059

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1715

Формула Бернулли

P(X = 5) = 126·0,7⁵·0,3⁴ = 126·0,1681·0,0081 = 0,1715

Ответ

P = 0,1715

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8622

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Ответ

P = 0,8622

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 174,4 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Ответ

x = 174,4 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 98,18

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Предельная ошибка

E = 2,093·10/√20 = 4,68

Интервал

93,5 ± 4,68 → [88,82, 98,18]

Ответ

верхняя граница = 98,18

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 472

Выразите n

n = (1,645·33/2,5)² = 471,5

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 472

Ответ

n = 472

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Статистика критерия

t = (197,3 − 200)/1,5 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,314

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 50/100 = 0,5

p̂₂ = 116/200 = 0,58

p̂ = 166/300 = 0,5533

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5533·0,4467·(1/100 + 1/200)) = 0,06089

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,58)/0,06089 = −1,314

Ответ

z = −1,314

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9837

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 423/5 = 84,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1771

Коэффициент детерминации

r² = 396²/(90·1771) = 0,9837

Ответ

r² = 0,9837

Прямая объясняет около 98,37% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 281/5 = 56,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Линия регрессии

b = 104/40 = 2,6

a = 56,2 − 2,6·6 = 40,6

ŷ = 40,6 + 2,6·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 40,6 + 2,6·9 = 64

Остаток

e = 66 − 64 = 2

Ответ

e = 2

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1