Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 26, 56, 14, 26, 46.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 176,3.

μ = 170σ = 5x = 176,3

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 11 человек? Порядок не важен.

n = 11k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,1, 0,2Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 22,7 и 38 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,7x₂ = 38

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 10% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов10%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 8 элементов имеет среднее 105,5 и стандартное отклонение s = 6,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 8x̄ = 105,5s = 6,595%t(7) = 2,365

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 30. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 30E = 1,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 55,5 mm, известное стандартное отклонение линии 17 mm. Линия 2: выборка из 60 деталей имеет среднее 58,4 mm, известное стандартное отклонение 16 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 55,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 60x̄₂ = 58,4 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 505,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 505,3σ = 20n = 8190%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,99

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 168/5 = 33,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−7,6)² + 22,4² + (−19,6)² + (−7,6)² + 12,4² = 1155

Стандартное отклонение

s = √(1155/4) = 16,99

Ответ

s = 16,99

2.Описательная статистика

Ответ: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (176,3 − 170)/5 = 1,25

Ответ

z = 1,25

3.Вероятность

Ответ: N = 55

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Ответ

N = 55

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,7263

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,7, Var(X) = 2,11, σ_X = 1,453

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,453 = 0,7263

Ответ

σ_Y = 0,7263

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·2,7 + 4 = 5,35.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7808

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808

Ответ

P = 0,7808

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 77,8 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 баллов

Ответ

x = 77,8 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,435

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Предельная ошибка

E = 2,365·6,5/√8 = 5,435

Ответ

E = 5,435

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1083

Выразите n

n = (1,645·30/1,5)² = 1082

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1083

Ответ

n = 1083

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,084

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(17²/100 + 16²/60) = √7,157 = 2,675

Статистика критерия

z = (55,5 − 58,4)/2,675 = −1,084

Ответ

z = −1,084

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 501,6

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√81 = 3,656

Граница интервала

L = 505,3 − 3,656 = 501,6

Ответ

L = 501,6

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9748

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 342/5 = 68,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1333

Коэффициент детерминации

r² = 228²/(40·1333) = 0,9748

Ответ

r² = 0,9748

Прямая объясняет около 97,48% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 49,2

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 204/5 = 40,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Линия регрессии

b = 56/10 = 5,6

a = 40,8 − 5,6·3 = 24

ŷ = 24 + 5,6·x

Прогноз

ŷ = 24 + 5,6·4,5 = 49,2

Ответ

ŷ = 49,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1