Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 15, 60, 44, 60, 24, 40.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 76?

μ = 60σ = 8x = 76

P =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 8 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 8

P =

4.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 11p = 0,7k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,8554. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8554

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 45,5 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 34 h, известное стандартное отклонение 3 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 45,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 60x̄₂ = 34 hσ₂ = 3 h99%

нижняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,3 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,04?

p ≈ 0,3E = 0,0495%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 60 деталей имеет среднюю длину 141,5 mm, известное стандартное отклонение линии 19 mm. Линия 2: выборка из 60 деталей имеет среднее 139,4 mm, известное стандартное отклонение 8 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 60x̄₁ = 141,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 60x̄₂ = 139,4 mmσ₂ = 8 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ > 50 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 2,5. В действительности среднее равно 50,55. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 50,55σ = 2,5n = 25α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 33?

n = 5ŷ = 33

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,41

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 243/6 = 40,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−25,5)² + 19,5² + 3,5² + 19,5² + (−16,5)² + (−0,5)² = 1696

Стандартное отклонение

s = √(1696/5) = 18,41

Ответ

s = 18,41

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: P = 0,7674

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Ответ

P = 0,7674

4.Вероятность

Ответ: P = 0,003713

Формула Бернулли

P(X = 3) = 165·0,7³·0,3⁸ = 165·0,343·6,561 × 10⁻⁵ = 0,003713

Ответ

P = 0,003713

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,06

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,8554 = 0,1446

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,1446 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,06

Ответ

z = −1,06

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 261,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Ответ

x = 261,63 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 7,903 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 45,5 − 34 = 11,5

Стандартная ошибка

SE = √(12²/80 + 3²/60) = 1,396

Предельная ошибка

E = 2,576·1,396 = 3,597

Интервал

11,5 ± 3,597 → [7,903, 15,1]

Ответ

нижняя граница = 7,903 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 505

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,3·0,7/0,04² = 504,2

Округлите вверх

n = 505

Ответ

n = 505

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,789

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(19²/60 + 8²/60) = √7,083 = 2,661

Статистика критерия

z = (141,5 − 139,4)/2,661 = 0,789

Ответ

z = 0,789

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 57,22 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 50 + 1,282·0,5 = 50,64

z при истинном среднем

z = (50,64 − 50,55)/0,5 = 0,182

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > 0,182) = 42,78%

β = 100% − 42,78% = 57,22%

Ответ

β = 57,22%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9555

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 370/6 = 61,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 468

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1455

Коэффициент детерминации

r² = 468²/(157,5·1455) = 0,9555

Ответ

r² = 0,9555

Прямая объясняет около 95,55% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,692

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 169/5 = 33,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

Линия регрессии

b = 26/10 = 2,6

a = 33,8 − 2,6·3 = 26

ŷ = 26 + 2,6·x

Найдите x

x = (33 − 26)/2,6 = 2,692

Ответ

x = 2,692

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1