Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 40, 60, 41, 60, 30, 12.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 38.

μ = 50σ = 8x = 38

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 5

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 1103 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1103 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 67 и стандартное отклонение s = 19. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 67s = 1995%t(29) = 2,045

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 71,5 kg, стандартное отклонение 9 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 79 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 71,5s₁ = 9n₂ = 7x̄₂ = 79s₂ = 299%t(14) = 2,977

верхняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 101,9 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,9s = 8n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 198,9. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 198,9σ = 4n = 10090%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,78

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 286/7 = 40,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 2,143² + (−0,8571)² + 19,14² + 0,1429² + 19,14² + (−10,86)² + (−28,86)² = 1689

Стандартное отклонение

s = √(1689/6) = 16,78

Ответ

s = 16,78

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (38 − 50)/8 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: P = 0,2727

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727

Ответ

P = 0,2727

4.Вероятность

Ответ: P = 0,005859

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Сложите

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Ответ

P = 0,005859

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

Стандартизуйте

z = (1103 − 1020)/41,57 = 2

Вероятность

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 243,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Ответ

x = 243,59 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,094

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·19/√30 = 7,094

Ответ

E = 7,094

8.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 2,894 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (8·9² + 6·2²)/14 = 48

s_p = 6,928

Предельная ошибка

E = 2,977·6,928·√(1/9 + 1/7) = 10,39

Интервал

−7,5 ± 10,39 → [−17,89, 2,894]

Ответ

верхняя граница = 2,894 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,138

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Статистика критерия

t = (101,9 − 100)/0,8889 = 2,138

Ответ

t = 2,138

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 198,2

Предельная ошибка

E = 1,645·4/√100 = 0,658

Граница интервала

L = 198,9 − 0,658 = 198,2

Ответ

L = 198,2

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9383

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 390/5 = 78

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 230

Коэффициент корреляции

r = 45/√(10·230) = 0,9383

Ответ

r = 0,9383

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 19,85

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Линия регрессии

b = −19/10 = −1,9

a = 20,8 − (−1,9)·3 = 26,5

ŷ = 26,5 − 1,9·x

Прогноз

ŷ = 26,5 + (−1,9)·3,5 = 19,85

Ответ

ŷ = 19,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1