Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 24, 19, 15, 52, 20, 13.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 84?

μ = 100σ = 20x = 84

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9051. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9051

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов5%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 114 и стандартное отклонение s = 10,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 114s = 10,599%t(29) = 2,756

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 13 участков, средний урожай 80 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Группа участков 2: 9 участков, среднее 79,5 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 80s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 79,5s₂ = 3,595%t(20) = 2,086

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 98,5 mm, известное стандартное отклонение линии 7 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 103,4 mm, известное стандартное отклонение 14 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 98,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 30x̄₂ = 103,4 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 101,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 101,1σ = 5n = 8199%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 15,5.

n = 5x = 15,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,33

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 143/6 = 23,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,1667² + (−4,833)² + (−8,833)² + 28,17² + (−3,833)² + (−10,83)² = 1027

Стандартное отклонение

s = √(1027/5) = 14,33

Ответ

s = 14,33

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

3.Вероятность

Ответ: N = 105

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Ответ

N = 105

4.Вероятность

Ответ: P = 0,01074

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Сложите

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Ответ

P = 0,01074

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,67

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9525 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,67

Ответ

z = 1,67

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 124,6 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 баллов

Ответ

x = 124,6 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 108,7

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Предельная ошибка

E = 2,756·10,5/√30 = 5,283

Интервал

114 ± 5,283 → [108,7, 119,3]

Ответ

нижняя граница = 108,7

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −5,124 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (12·7,5² + 8·3,5²)/20 = 38,65

s_p = 6,217

Предельная ошибка

E = 2,086·6,217·√(1/13 + 1/9) = 5,624

Интервал

0,5 ± 5,624 → [−5,124, 6,124]

Ответ

нижняя граница = −5,124 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,788

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(7²/50 + 14²/30) = √7,513 = 2,741

Статистика критерия

z = (98,5 − 103,4)/2,741 = −1,788

Ответ

z = −1,788

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 102,5

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·5/√81 = 1,431

Граница интервала

U = 101,1 + 1,431 = 102,5

Ответ

U = 102,5

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9933

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 413/6 = 68,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2665

Коэффициент корреляции

r = 429/√(70·2665) = 0,9933

Ответ

r = 0,9933

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 59,85

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 387/5 = 77,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351

Линия регрессии

b = 351/90 = 3,9

a = 77,4 − 3,9·20 = −0,6

ŷ = −0,6 + 3,9·x

Прогноз

ŷ = −0,6 + 3,9·15,5 = 59,85

Ответ

ŷ = 59,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1