Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 33, 10, 56, 16, 33, 35.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 47,5?

μ = 50σ = 5x = 47,5

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.

n = 10k = 4

N =

4.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 5p = 0,3k = 2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 100,75 и 118 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 100,75x₂ = 118

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 85% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов85%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 6,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 225 наблюдениям?

99%n₁ = 25E₁ = 6,790%n₂ = 225

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 1,4 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 72,8 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,8s = 10n = 100

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 100,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 100,8σ = 10n = 2590%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 20,5.

n = 5x = 20,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,3

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 242/7 = 34,57

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 24,43² + (−1,571)² + (−24,57)² + 21,43² + (−18,57)² + (−1,571)² + 0,4286² = 2010

Стандартное отклонение

s = √(2010/6) = 18,3

Ответ

s = 18,3

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

3.Вероятность

Ответ: N = 210

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

Ответ

N = 210

4.Вероятность

Ответ: P = 0,3087

Формула Бернулли

P(X = 2) = 10·0,3²·0,7³ = 10·0,09·0,343 = 0,3087

Ответ

P = 0,3087

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,365

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(0,05) = 0,8849 − 0,5199 = 0,365

Ответ

P = 0,365

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 84,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 баллов

Ответ

x = 84,4 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,426

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(25/225) = 0,2129

Новая предельная ошибка

E₂ = 6,7·0,2129 = 1,426

Ответ

E₂ = 1,426

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 0,9782 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·1,4² = 19,6

Границы для σ²

19,6/20,483 = 0,9569

19,6/3,247 = 6,036

Граница для σ

σ = √0,9569 = 0,9782 µm

Ответ

σ = 0,9782 µm

95 % интервал для σ: [0,9782, 2,457] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Статистика критерия

t = (72,8 − 75)/1 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 104,1

Предельная ошибка

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Граница интервала

U = 100,8 + 3,29 = 104,1

Ответ

U = 104,1

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9984

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 162/6 = 27

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1076

Коэффициент корреляции

r = 274/√(70·1076) = 0,9984

Ответ

r = 0,9984

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 110,9

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 599/5 = 119,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531

Линия регрессии

b = 531/90 = 5,9

a = 119,8 − 5,9·22 = −10

ŷ = −10 + 5,9·x

Прогноз

ŷ = −10 + 5,9·20,5 = 110,9

Ответ

ŷ = 110,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1