Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 58, 11, 39, 26, 11, 57.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 55?
μ = 60σ = 5x = 55
P =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.
n = 15k = 4
N =
4.ВероятностьСложная
В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?
n = 8p = 0,25k = 1
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 164 и 186,75 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 186,75
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 30% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 7 элементов имеет среднее 29 и стандартное отклонение s = 11. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 7x̄ = 29s = 1199%t(6) = 3,707
верхняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?
σ = 18E = 1,599%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
11 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 11,83, стандартное отклонение разностей — 10,6. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 11,83sd = 10,6
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 36 измерений имеет среднее 114,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 114,7σ = 20n = 3699%
L =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 807Σxy = 420
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 21,22
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 202/6 = 33,67
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 24,33² + (−22,67)² + 5,333² + (−7,667)² + (−22,67)² + 23,33² = 2251
Стандартное отклонение
s = √(2251/5) = 21,22
Ответ
s = 21,22
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,1587
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
3.Вероятность
Ответ: N = 1365
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
Ответ
N = 1365
4.Вероятность
Ответ: P = 0,267
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 1) = 8·0,251·0,757 = 8·0,25·0,1335 = 0,267
Ответ
P = 0,267
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8716
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25
Площадь между
P = Φ(1,25) − Φ(−2) = 0,8944 − 0,02275 = 0,8716
Ответ
P = 0,8716
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 247,4 g
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,3
z из таблицы
z ≈ −0,52
Возврат к исходным единицам
x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g
Ответ
x = 247,4 g
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 44,41
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Предельная ошибка
E = 3,707·11/√7 = 15,41
Интервал
29 ± 15,41 → [13,59, 44,41]
Ответ
верхняя граница = 44,41
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 956
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·18/1,5)² = 955,6
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 956
Ответ
n = 956
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,701
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 10,6/√11 = 3,196
Статистика критерия
t = 11,83/3,196 = 3,701
Ответ
t = 3,701
При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 106,1
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·20/√36 = 8,587
Граница интервала
L = 114,7 − 8,587 = 106,1
Ответ
L = 106,1
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9914
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 420 − 30·59/5 = 66
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 807 − 59²/5 = 110,8
Коэффициент корреляции
r = 66/√(40·110,8) = 0,9914
Ответ
r = 0,9914
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 28,13
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 140/6 = 23,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42
Линия регрессии
b = −42/17,5 = −2,4
a = 23,33 − (−2,4)·3,5 = 31,73
ŷ = 31,73 − 2,4·x
Прогноз
ŷ = 31,73 + (−2,4)·1,5 = 28,13
Ответ
ŷ = 28,13
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1