Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 36, 57, 49, 48.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 146.

μ = 170σ = 20x = 146

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €2. Вы выигрываете €8 с вероятностью 0,3 и €20 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €2€8: p = 0,3€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9385. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9385

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

У 9 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 0,6 и стандартное отклонение 3. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 9d̄ = 0,6s_d = 399%t(8) = 3,355

E = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 11 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 11 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 55, стандартное отклонение 7,5. Группа 2: 11 студентов, средний балл 62,7, стандартное отклонение 9,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 55s₁ = 7,5n₂ = 11x̄₂ = 62,7s₂ = 9,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 12E = 190%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 132Σx² = 91Σy² = 2948Σxy = 437

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (24, 90). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(24, 90)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 9,628

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 224/5 = 44,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10,8)² + (−8,8)² + 12,2² + 4,2² + 3,2² = 370,8

Стандартное отклонение

s = √(370,8/4) = 9,628

Ответ

s = 9,628

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (146 − 170)/20 = −1,2

Ответ

z = −1,2

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,45

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,7

Дисперсия

Var(X) = 3,7 − 1,5² = 1,45

Ответ

Var(X) = 1,45

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,4 €

Чистые исходы

G: 6 (p = 0,3), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)

Математическое ожидание

E(G) = 6·0,3 + 18·0,05 − 2·0,65 = 1,4 €

Ответ

E(G) = 1,4 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,87

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9385)/2 = 0,9693

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9693 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,87

Ответ

z = 1,87

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 124,7 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 100 + 1,645·15 = 124,67 баллов

Ответ

x = 124,67 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,355 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 8, t = 3,355

Предельная ошибка

E = 3,355·3/√9 = 3,355

Ответ

E = 3,355 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 19,3 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·11² = 1210

Границы для σ²

1210/20,483 = 59,07

1210/3,247 = 372,7

Граница для σ

σ = √372,7 = 19,3 µm

Ответ

σ = 19,3 µm

95 % интервал для σ: [7,686, 19,3] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,591

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·7,5² + 10·9,5²)/14 = 80,54

s_p = 8,974

Стандартная ошибка

SE = 8,974·√(1/5 + 1/11) = 4,84

Статистика критерия

t = (55 − 62,7)/4,84 = −1,591

Ответ

t = −1,591

При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 390

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·12/1)² = 389,7

Округлите вверх

n = 390

Ответ

n = 390

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9009

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 437 − 21·132/6 = −25

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2948 − 132²/6 = 44

Коэффициент корреляции

r = −25/√(17,5·44) = −0,9009

Ответ

r = −0,9009

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,038

Средние

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 470/6 = 78,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 302

Линия регрессии

b = 302/70 = 4,314

a = 78,33 − 4,314·22 = −16,58

ŷ = −16,58 + 4,314·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −16,58 + 4,314·24 = 86,96

Остаток

e = 90 − 86,96 = 3,038

Ответ

e = 3,038

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1