Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 15, 54, 26, 24, 27.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 62?
μ = 60σ = 5x = 62
P =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 4. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,35, 0,2Y = −2X + 4
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 60 и 70 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 70
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 99%
x = cm
7.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 74,5 h, известное стандартное отклонение 20 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 84 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 74,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 84 hσ₂ = 10 h90%
E = h
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 39. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 39E = 295%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 202 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202s = 10n = 36
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 60 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 90 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 90n₂ = 200
z =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (1,5, 20). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 20)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 14,65
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 146/5 = 29,2
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−14,2)² + 24,8² + (−3,2)² + (−5,2)² + (−2,2)² = 858,8
Стандартное отклонение
s = √(858,8/4) = 14,65
Ответ
s = 14,65
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,6554
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблица нормального распределения
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Ответ
P = 0,6554
3.Вероятность
Ответ: Var(X) = 0,6475
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Дисперсия
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Ответ
Var(X) = 0,6475
4.Вероятность
Ответ: σY = 2,315
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,4, Var(X) = 1,34, σX = 1,158
Линейное преобразование
σY = |−2|·1,158 = 2,315
Ответ
σY = 2,315
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·1,4 + 4 = 1,2.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,3829
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5
Площадь между
P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3829
Ответ
P = 0,3829
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 194,3 cm
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Обратно к x
x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm
Ответ
x = 194,28 cm
7.Доверительные интервалы
Ответ: E = 6,371 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 74,5 − 84 = −9,5
Стандартная ошибка
SE = √(20²/30 + 10²/60) = 3,873
Предельная ошибка
E = 1,645·3,873 = 6,371
Ответ
E = 6,371 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1461
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·39/2)² = 1461
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 1461
Ответ
n = 1461
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,2
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Статистика критерия
t = (202 − 200)/1,667 = 1,2
Ответ
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 0,8677
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 60/120 = 0,5
p̂₂ = 90/200 = 0,45
p̂ = 150/320 = 0,4688
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,4688·0,5313·(1/120 + 1/200)) = 0,05762
Статистика критерия
z = (0,5 − 0,45)/0,05762 = 0,8677
Ответ
z = 0,8677
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9812
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 79/5 = 15,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Syy = Σ(y − ȳ)² = 254,8
Коэффициент детерминации
r² = 100²/(40·254,8) = 0,9812
Ответ
r² = 0,9812
Прямая объясняет около 98,12% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −2,75
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Линия регрессии
b = −17/10 = −1,7
a = 20,2 − (−1,7)·3 = 25,3
ŷ = 25,3 − 1,7·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 25,3 + (−1,7)·1,5 = 22,75
Остаток
e = 20 − 22,75 = −2,75
Ответ
e = −2,75
Точка лежит ниже прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1