Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
360 g367,2 gT = X₁ + … + X₉?

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 367,2 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 367,2 g
P =
2.Нормальное распределениеСложная
10 g0X − Y?

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
n = 21, s = 5LUx̄ = 84,5E = ?95%

Выборка из 21 элементов имеет среднее 84,5 и стандартное отклонение s = 5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 84,5s = 595%t(20) = 2,086
E =
4.Доверительные интервалыСложная
σ = 23, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 23. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 23E = 0,599%
n =
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,0642,064t = ?df = 24

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 71,5, стандартное отклонение 8. Группа 2: 21 студентов, средний балл 61,8, стандартное отклонение 9. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 71,5s₁ = 8n₂ = 21x̄₂ = 61,8s₂ = 9
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
−1,961,96z = ?

В исследовании выздоравливают 90 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 66 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 66n₂ = 300
z =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy358460566671774xy4660657075

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5
r =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy17391939214423572558xy2025405060x = 24

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 24.

n = 5x = 24
ŷ =
9.Критерии хи-квадратСредняя
улучшениебез улучшенияИтогоновый препарат5941100плацебо8436120Итого14377220

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2202 × 2
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
годнобракИтоговозраст 18–30471360возраст 31–50202040возраст 51+31940Итого9842140dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1403 × 2α = 0,05
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g

Стандартизуйте

z = (367,2 − 360)/3,6 = 2

Вероятность

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Ответ

P = 0,02275
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413
3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,276

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Предельная ошибка

E = 2,086·5/√21 = 2,276

Ответ

E = 2,276
4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 14042

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·23/0,5)² = 14041

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 14042

Ответ

n = 14042
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,205

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

sp² = (4·8² + 20·9²)/24 = 78,17
sp = 8,841

Стандартная ошибка

SE = 8,841·√(1/5 + 1/21) = 4,399

Статистика критерия

t = (71,5 − 61,8)/4,399 = 2,205

Ответ

t = 2,205

При df = 24 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,064; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,234

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 90/300 = 0,3
p̂₂ = 66/300 = 0,22
p̂ = 156/600 = 0,26

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,26·0,74·(1/300 + 1/300)) = 0,03581

Статистика критерия

z = (0,3 − 0,22)/0,03581 = 2,234

Ответ

z = 2,234

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9896

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 329/5 = 65,8

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 188,8

Коэффициент корреляции

r = 43/√(10·188,8) = 0,9896

Ответ

r = 0,9896
8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 55,8

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 237/5 = 47,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Линия регрессии

b = 112/40 = 2,8
a = 47,4 − 2,8·21 = −11,4
ŷ = −11,4 + 2,8·x

Прогноз

ŷ = −11,4 + 2,8·24 = 55,8

Ответ

ŷ = 55,8
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,901

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 100·143/220 = 65, 100·77/220 = 35
плацебо: 120·143/220 = 78, 120·77/220 = 42

Статистика хи-квадрат

χ² = (59 − 65)²/65 + (41 − 35)²/35 + (84 − 78)²/78 + (36 − 42)²/42
χ² = 2,901

Ответ

χ² = 2,901

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 10,67

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 42, 18
возраст 31–50: 28, 12
возраст 51+: 28, 12

Статистика хи-квадрат

χ² = (47 − 42)²/42 + (13 − 18)²/18 + (20 − 28)²/28 + (20 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28 + (9 − 12)²/12
χ² = 10,67

Решение

df = 2, χ²crit = 5,991
10,67 > 5,991

Ответ

χ² = 10,67

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference