Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них меньше 50,4 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 50.4 kg

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 52,5 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 50 h, известное стандартное отклонение 8 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 52,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 40x̄₂ = 50 hσ₂ = 8 h99%

нижняя граница = h

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 18E = 1,595%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 120; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 4. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 119,54. Проверьте H₀: μ = 120 против H₁: μ < 120. Найдите p-значение p.

μ₀ = 120σ = 4n = 64x̄ = 119,54H₁: μ < μ₀

p =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ > 200 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 203. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 200μ = 203σ = 15n = 36α = 0,05

β = %

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 397Σx² = 364Σy² = 27523Σxy = 3070

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, велосипед».

итог по строке = 98итог по столбцу = 47N = 145

E =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 6 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 6

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9332

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (50,4 − 48)/1,6 = 1,5

Вероятность

P = Φ(1,5) = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8665

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Ответ

P = 0,8665

3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −1,991 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 52,5 − 50 = 2,5

Стандартная ошибка

SE = √(12²/100 + 8²/40) = 1,744

Предельная ошибка

E = 2,576·1,744 = 4,491

Интервал

2,5 ± 4,491 → [−1,991, 6,991]

Ответ

нижняя граница = −1,991 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 554

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·18/1,5)² = 553,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 554

Ответ

n = 554

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1788

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5

z = (119,54 − 120)/0,5 = −0,92

Площадь хвоста

Φ(0,92) = 0,8212

1 − Φ(0,92) = 0,1788

p-значение

p = 0,1788

Ответ

p = 0,1788

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 67,18 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 200 + 1,645·2,5 = 204,1

z при истинном среднем

z = (204,1 − 203)/2,5 = 0,445

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > 0,445) = 32,82%

β = 100% − 32,82% = 67,18%

Ответ

β = 67,18%

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9819

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 3070 − 42·397/6 = 291

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 27523 − 397²/6 = 1255

Коэффициент корреляции

r = 291/√(70·1255) = 0,9819

Ответ

r = 0,9819

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 18,02

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 79/6 = 13,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5

Линия регрессии

b = −42,5/17,5 = −2,429

a = 13,17 − (−2,429)·3,5 = 21,67

ŷ = 21,67 − 2,429·x

Прогноз

ŷ = 21,67 + (−2,429)·1,5 = 18,02

Ответ

ŷ = 18,02

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 31,77

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 98·47/145 = 31,77

Ответ

E = 31,77

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 5

Степени свободы

df = 6 − 1 = 5

Ответ

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference