Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
488580P = ?

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 488 и 580 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 580
P =
2.Нормальное распределениеСложная
0,02 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
n = 11, s = 12,5LUx̄ = 68E = ?90%

Выборка из 11 элементов имеет среднее 68 и стандартное отклонение s = 12,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 68s = 12,590%t(10) = 1,812
E =
4.Доверительные интервалыСложная
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 14. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 14E = 295%
n =
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,1792,179t = ?df = 12

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 66,5, стандартное отклонение 8,5. Группа 2: 7 студентов, средний балл 74,1, стандартное отклонение 3,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 7x̄₁ = 66,5s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 74,1s₂ = 3,5
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −2,57602,576

Выборка из 49 измерений имеет среднее 205,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 205,1σ = 12n = 4999%
L =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy26486158171023xy5101020

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy3365417489531159xy510405060x = 4

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4.

n = 5x = 4
ŷ =
9.Критерии хи-квадратСредняя
данетИтогомужчины5169120женщины3387120Итого84156240

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2402 × 2
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
данетИтогозавод A162440завод B2773100завод C235780Итого66154220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5952

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3
z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−0,3) = 0,9772 − 0,3821 = 0,5952

Ответ

P = 0,5952
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9207

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Ответ

P = 0,9207
3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,829

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Предельная ошибка

E = 1,812·12,5/√11 = 6,829

Ответ

E = 6,829
4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 189

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·14/2)² = 188,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 189

Ответ

n = 189
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,187

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

sp² = (6·8,5² + 6·3,5²)/12 = 42,25
sp = 6,5

Стандартная ошибка

SE = 6,5·√(1/7 + 1/7) = 3,474

Статистика критерия

t = (66,5 − 74,1)/3,474 = −2,187

Ответ

t = −2,187

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 200,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√49 = 4,416

Граница интервала

L = 205,1 − 4,416 = 200,7

Ответ

L = 200,7
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9691

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 69/5 = 13,8

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Syy = Σ(y − ȳ)² = 190,8

Коэффициент детерминации

r² = 86²/(40·190,8) = 0,9691

Ответ

r² = 0,9691

Прямая объясняет около 96,91% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 38,7

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 237/5 = 47,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Линия регрессии

b = 116/40 = 2,9
a = 47,4 − 2,9·7 = 27,1
ŷ = 27,1 + 2,9·x

Прогноз

ŷ = 27,1 + 2,9·4 = 38,7

Ответ

ŷ = 38,7
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,934

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 120·84/240 = 42, 120·156/240 = 78
женщины: 120·84/240 = 42, 120·156/240 = 78

Статистика хи-квадрат

χ² = (51 − 42)²/42 + (69 − 78)²/78 + (33 − 42)²/42 + (87 − 78)²/78
χ² = 5,934

Ответ

χ² = 5,934

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,393

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

завод A: 12, 28
завод B: 30, 70
завод C: 24, 56

Статистика хи-квадрат

χ² = (16 − 12)²/12 + (24 − 28)²/28 + (27 − 30)²/30 + (73 − 70)²/70 + (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56
χ² = 2,393

Решение

df = 2, χ²crit = 9,210
2,393 < 9,210

Ответ

χ² = 2,393

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference