Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,4647. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,4647

z =

2.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 69 и стандартное отклонение s = 14. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 69s = 1490%t(15) = 1,753

E =

4.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 14 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Группа участков 2: 15 участков, среднее 25,5 kg, стандартное отклонение 5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 14s₁ = 3,5n₂ = 15x̄₂ = 25,5s₂ = 595%t(19) = 2,093

нижняя граница = kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 30. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 83. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 30n = 144x̄ = 83H₁: μ > μ₀

p =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 12E = 0,590%

n =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5,5, 73). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 73)

e =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «дневная смена, незначительный».

итог по строке = 92итог по столбцу = 76N = 199

E =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,62

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7324 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,62

Ответ

z = 0,62

2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,135

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Предельная ошибка

E = 1,753·14/√16 = 6,135

Ответ

E = 6,135

4.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −16,2 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (5·3,5² + 14·5²)/19 = 21,64

s_p = 4,652

Предельная ошибка

E = 2,093·4,652·√(1/6 + 1/15) = 4,704

Интервал

−11,5 ± 4,704 → [−16,2, −6,796]

Ответ

нижняя граница = −16,2 kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1151

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5

z = (83 − 80)/2,5 = 1,2

Площадь хвоста

Φ(1,2) = 0,8849

1 − Φ(1,2) = 0,1151

p-значение

p = 0,1151

Ответ

p = 0,1151

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 1559

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·12/0,5)² = 1559

Округлите вверх

n = 1559

Ответ

n = 1559

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,3559

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 227/5 = 45,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 81,2

Коэффициент детерминации

r² = 17²/(10·81,2) = 0,3559

Ответ

r² = 0,3559

Прямая объясняет около 35,59% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,271

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 369/6 = 61,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54,5

Линия регрессии

b = 54,5/17,5 = 3,114

a = 61,5 − 3,114·3,5 = 50,6

ŷ = 50,6 + 3,114·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 50,6 + 3,114·5,5 = 67,73

Остаток

e = 73 − 67,73 = 5,271

Ответ

e = 5,271

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 35,14

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 92·76/199 = 35,14

Ответ

E = 35,14

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 5,991

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Таблица

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Ответ

χ²_crit = 5,991

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference