Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них превышает 150,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 150,6 kg

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 95% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов95%

x = баллов

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 13 элементов имеет среднее 118 и стандартное отклонение s = 1. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 118s = 190%t(12) = 1,782

E =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 16E = 299%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 51,2 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,2s = 4n = 16

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 75,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 75,6σ = 10n = 2599%

U =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2202 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 4 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3121

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Стандартизуйте

z = (150,6 − 150)/1,225 = 0,49

Вероятность

P = 1 − Φ(0,49) = 0,3121

Ответ

P = 0,3121

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 48,6 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,05

z из таблицы

z ≈ −1,64

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 баллов

Ответ

x = 48,6 баллов

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 0,4942

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Предельная ошибка

E = 1,782·1/√13 = 0,4942

Ответ

E = 0,4942

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 425

Выразите n

n = (2,576·16/2)² = 424,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 425

Ответ

n = 425

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Статистика критерия

t = (51,2 − 50)/1 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 80,75

Предельная ошибка

E = 2,576·10/√25 = 5,152

Граница интервала

U = 75,6 + 5,152 = 80,75

Ответ

U = 80,75

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9894

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 474/6 = 79

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 735

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3504

Коэффициент корреляции

r = 735/√(157,5·3504) = 0,9894

Ответ

r = 0,9894

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 15,45

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Линия регрессии

b = −25/10 = −2,5

a = 19,2 − (−2,5)·3 = 26,7

ŷ = 26,7 − 2,5·x

Прогноз

ŷ = 26,7 + (−2,5)·4,5 = 15,45

Ответ

ŷ = 15,45

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 6,453

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 100·110/220 = 50, 100·55/220 = 25, 100·55/220 = 25

ночная смена: 120·110/220 = 60, 120·55/220 = 30, 120·55/220 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (54 − 50)²/50 + (29 − 25)²/25 + (17 − 25)²/25 + (56 − 60)²/60 + (26 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30

χ² = 6,453

Ответ

χ² = 6,453

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 12,59

Степени свободы

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Ответ

χ²_crit = 12,592

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference