Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 200,5 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,5 mm

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 31,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 31,5s = 16,595%t(8) = 2,306

нижняя граница =

4.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 94,5 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Группа участков 2: 10 участков, среднее 83 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 94,5s₁ = 7,5n₂ = 10x̄₂ = 83s₂ = 1,599%t(14) = 2,977

нижняя граница = kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 10 студентов, средний балл 25, стандартное отклонение 10,5. Группа 2: 21 студентов, средний балл 19,1, стандартное отклонение 3. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 10x̄₁ = 25s₁ = 10,5n₂ = 21x̄₂ = 19,1s₂ = 3

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 119,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 119,1σ = 15n = 6495%

U =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, автобус».

итог по строке = 77итог по столбцу = 47N = 137

E =

10.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 254,2 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Ответ

x = 254,21 g

3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 18,82

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·16,5/√9 = 12,68

Интервал

31,5 ± 12,68 → [18,82, 44,18]

Ответ

нижняя граница = 18,82

4.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 4,366 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (5·7,5² + 9·1,5²)/14 = 21,54

s_p = 4,641

Предельная ошибка

E = 2,977·4,641·√(1/6 + 1/10) = 7,134

Интервал

11,5 ± 7,134 → [4,366, 18,63]

Ответ

нижняя граница = 4,366 kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,415

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (9·10,5² + 20·3²)/29 = 40,42

s_p = 6,358

Стандартная ошибка

SE = 6,358·√(1/10 + 1/21) = 2,443

Статистика критерия

t = (25 − 19,1)/2,443 = 2,415

Ответ

t = 2,415

При df = 29 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,045; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 122,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·15/√64 = 3,675

Граница интервала

U = 119,1 + 3,675 = 122,8

Ответ

U = 122,8

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9304

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 486/6 = 81

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1054

Коэффициент детерминации

r² = 262²/(70·1054) = 0,9304

Ответ

r² = 0,9304

Прямая объясняет около 93,04% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 69,8

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 377/5 = 75,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

Линия регрессии

b = 224/40 = 5,6

a = 75,4 − 5,6·6 = 41,8

ŷ = 41,8 + 5,6·x

Прогноз

ŷ = 41,8 + 5,6·5 = 69,8

Ответ

ŷ = 69,8

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 26,42

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 77·47/137 = 26,42

Ответ

E = 26,42

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 3,607

Ожидаемые частоты

завод A: 30, 30

завод B: 20, 20

завод C: 50, 50

Статистика хи-квадрат

χ² = (34 − 30)²/30 + (26 − 30)²/30 + (15 − 20)²/20 + (25 − 20)²/20 + (51 − 50)²/50 + (49 − 50)²/50

χ² = 3,607

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

3,607 < 9,210

Ответ

χ² = 3,607

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference