Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 35 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m1,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 6 mP1 = 35 kN в 2 mP2 = 60 kN в 3,5 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 80 kNADCRD​ = ?4 m1 m5 m

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите реакцию RD подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 10 mP = 80 kN в 5 m
RD = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
M0​ = 55 kN·mAB4 m1 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 55 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 4 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mM0 = 55 kN·m по часовой стрелке, в точке 4 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 3 kN/mP = 30 kNABсечение2,5 m2,5 m1 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 30 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB40 kN5 m4 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB15 kN10 kN8 m1 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←
FAB = kN
7.Прогиб балкиСредняя
P = 21 kNABδ1,5 m1,5 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δB свободного конца B.

P = 21 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 2 kN/mδL = 1,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 2,5 md = 20 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 55 kNL = 3 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 55 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 55 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 46,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 35 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2 m1,5 m2,5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·2 + 60·3,5
RB = 280/6 = 46,67 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 46,67 = 48,33 kN

Ответ

RB = 46,67 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RD = 13,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣMC = 0: RD·6 = 80·1
RD = 13,33 kN
VC = 80 − 13,33 = 66,67 kN

Ответ

RD = 13,33 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = −44 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (вверх)
RA = −RB = −11 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только RA.

Mx = RA·a = −11·4 = −44 kN·m

Ответ

Mx = −44 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 20 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·2,5 + 3·6·3
RB = 129/6 = 21,5 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 21,5 = 26,5 kN
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = 26,5RB​ = 21,5сечение2,5 m2,5 m1 m

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 26,5·5 − 30·(5 − 2,5) − 3·5·2,5 = 20 kN·m

Ответ

Mx = 20 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −33,73 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·4 → Cy = 32 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 32 = 8 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32/0,9487 = −33,73 kN

Ответ

FBC = −33,73 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −18,68 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB15 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·1 − 10·4 → Cy = −3,125 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −3,125 = 18,13 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,13/0,9701 = −18,68 kN

Ответ

FAB = −18,68 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δB = 36,68 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 21000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δP = Pa³/(3EI) = 14,67 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01467 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 36,68 mm

Ответ

δB = 36,68 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,876 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 2,876 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 3,473 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1250² = 3473 N = 3,473 kN

Ответ

Pcr = 3,473 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 68,06 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 68,06 mm

Ответ

d = 68,06 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 123,4, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis