Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 2 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 4 mP = 25 kN в 1,5 mM = 15 kN·m (по часовой стрелке) в 2 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 15 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 6 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 20 kN в 6 m

M_A = kN·m

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP₁ = 50 kN в 4 mP₂ = 60 kN в 7 m

M_max = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 45 kN в 2 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN →

F_BC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 65 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 11,88 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 25·1,5 − 15 = 0

R_B = 52,5/4 = 13,13 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 25 − 13,13 = 11,88 kN

Ответ

R_A = 11,88 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 300 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 45·4 + 20·6 = 300 kN·m

Ответ

M_A = 300 kN·m

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 192 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·4 + 60·7

R_B = 620/10 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 62 = 48 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·4 = 48·4 = 192 kN·m

под P₂: M = R_B·3 = 62·3 = 186 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 192 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 192 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 37,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 2·4·2

R_B = 106/4 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 26,5 = 26,5 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 26,5·1,5 − 2·1,5·0,75 = 37,5 kN·m

Ответ

M_x = 37,5 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −18,2 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 5 = 35 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,2747 = −18,2 kN

Ответ

F_BC = −18,2 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −37,8 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 + 5·4 → C_y = 36,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 36,67 = 3,333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Узел C

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36,67/0,9701 = −37,8 kN

Ответ

F_BC = −37,8 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 2,152 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 2,152 mm

Ответ

δ = 2,152 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,963 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1,7 × 10¹²) = 0,7659 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 1,197 mm

Сложите

δ_max = 0,7659 + 1,197 = 1,963 mm

Ответ

δ_max = 1,963 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 456,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/750² = 456926 N = 456,9 kN

Ответ

P_cr = 456,9 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 54,19 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 54,19 mm

Ответ

d = 54,19 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 110,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis