Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 30 L содержит 230 g газа (CO₂) при 15 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 230 gM = 44,01 g/molV = 30 LT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (He) переходит от 350 kPa, 2 L, 20 °C к 200 kPa и 150 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (этанол) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 15% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 10 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 600 °C и холодным при 30 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 600 °CT_L = 30 °C

η_max = %

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Две машины Карно работают последовательно. Машина A получает теплоту от резервуара при 750 °C и отдаёт теплоту промежуточному резервуару при температуре T_m. Машина B забирает всю эту теплоту и отдаёт теплоту резервуару при 35 °C. Обе машины совершают одинаковую работу. Найдите T_m в °C.

T_H = 750 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 14 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2,2. В начале сжатия температура воздуха 300 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 14r_c = 2,2T₁ = 300 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 14. Воздух поступает в компрессор при 300 K, а в турбину — при 1400 K. Изоэнтропный КПД компрессора 80%, турбины 88%. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 14T₁ = 300 KT₃ = 1400 Kη_c = 80%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 417,3 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 230/44,01 = 5,226 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Давление

P = nRT/V = 5,226·8,314·288,1/0,03 = 417,3 kPa

Ответ

P = 417,3 kPa

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 5,052 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 293,1 K, T₂ = 423,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/200)·(423,1/293,1) = 5,052 L

Ответ

V₂ = 5,052 L

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 87,51 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 3·3,6·(170 − 140) = 324 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 324/(1·4,18) = 87,51 °C

Ответ

t_out = 87,51 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 1,145 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 2,5·2,44·(140 − 80) = 366 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,15)·366 = 311,1 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 311,1/(4,18·65) = 1,145 kg/s

Ответ

ṁ_c = 1,145 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 65,28 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/873,1 = 65,28 %

Ответ

η_max = 65,28 %

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_m = 392,5 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Равная работа

W = Q·(1 − T_low/T_high), а Q/T одинаково для всех резервуаров, поэтому W пропорциональна перепаду температур.

T_m = (1023 + 308,1)/2 = 665,6 K = 392,5 °C

Ответ

T_m = 392,5 °C

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 1897 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 300·14^0,4 = 862,1 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·862,1 = 1897 K

Ответ

T₃ = 1897 K

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 231,5 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T_2s = 300·14^0,2857 = 637,7 K

T_4s = 1400/14^0,2857 = 658,7 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(637,7 − 300)/0,8 = 424,2 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1400 − 658,7) = 655,6 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 655,6 − 424,2 = 231,5 kJ/kg

Ответ

w_net = 231,5 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 64,7%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1