Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 330 g газа (CO₂) при 550 kPa и 95 °C? Считайте газ идеальным.

m = 330 gM = 44,01 g/molP = 550 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (CH₄) при 100 kPa и 70 °C, считая его идеальным.

M = 16,04 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 15% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Ct: 25 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 2200 kJ теплоты от резервуара при 325 °C и отдаёт 1078 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 325 °CQ_H = 2200 kJQ_L = 1078 kJ

T_L = °C

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 4000 kJ теплоты от резервуара при 900 °C, совершает 1800 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 25 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 900 °CT_L = 25 °CQ_H = 4000 kJW = 1800 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 15 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 1,5. В начале сжатия температура воздуха 310 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 15r_c = 1,5T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Идеальный цикл Брайтона работает со степенью повышения давления в компрессоре 16. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

r_p = 16k = 1,4

η = %

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 41,73 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 330/44,01 = 7,498 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Объём

V = nRT/P = 7,498·8,314·368,1/550 = 41,73 L

Ответ

V = 41,73 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 0,5622 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Плотность

ρ = 100·16,04/(8,314·343,1) = 0,5622 kg/m³

Ответ

ρ = 0,5622 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 58,06 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 1·3,6·(150 − 100) = 180 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 180/(1·4,18) = 58,06 °C

Ответ

t_out = 58,06 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 4,941 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 3·3,6·(170 − 80) = 972 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,15)·972 = 826,2 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 826,2/(4,18·40) = 4,941 kg/s

Ответ

ṁ_c = 4,941 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 19,94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598,1·1078/2200 = 293,1 K = 19,94 °C

Ответ

T_L = 19,94 °C

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 3,969 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 4000 − 1800 = 2200 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −4000/1173 = −3,41 kJ/K

ΔS_L = 2200/298,1 = 7,379 kJ/K

S_gen = 7,379 − 3,41 = 3,969 kJ/K

Ответ

S_gen = 3,969 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 1374 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 310·15^0,4 = 915,8 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·915,8 = 1374 K

Ответ

T₃ = 1374 K

8.Газовые циклы

Ответ: η = 54,71 %

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Термический КПД

η = 1 − 1/16^0,2857 = 1 − 1/2,208 = 54,71%

Ответ

η = 54,71%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1