Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 360 g газа (He) при 650 kPa и 90 °C? Считайте газ идеальным.

m = 360 gM = 4,003 g/molP = 650 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (O₂) при 400 kPa и 120 °C, считая его идеальным.

M = 32 g/molP = 400 kPaT = 120 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 70 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 5% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Ct: 25 → 50 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 250 °C и холодным при 25 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 250 °CT_L = 25 °C

η_max = %

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина Карно получает 190 kW теплоты от источника при 850 °C и отдаёт теплоту окружающей среде при 27 °C. Вся её работа приводит холодильную машину Карно, которая отводит теплоту из морозильной камеры при 0 °C и тоже отдаёт теплоту окружающей среде при 27 °C. Найдите тепловой поток Q̇_L, отводимый из морозильной камеры.

T_H = 850 °CT₀ = 27 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 190 kW

Q̇_L = kW

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 18 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2,2. В начале сжатия температура воздуха 310 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 18r_c = 2,2T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 10. Воздух поступает в компрессор при 290 K, а в турбину — при 1300 K. Изоэнтропный КПД компрессора 88%, турбины 88%. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 290 KT₃ = 1300 Kη_c = 88%η_t = 88%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 417,7 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 360/4,003 = 89,93 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Объём

V = nRT/P = 89,93·8,314·363,1/650 = 417,7 L

Ответ

V = 417,7 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 3,916 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273,15 = 393,1 K

Плотность

ρ = 400·32/(8,314·393,1) = 3,916 kg/m³

Ответ

ρ = 3,916 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 70,22 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 0,5·2,1·(160 − 70) = 94,5 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 94,5/(0,5·4,18) = 70,22 °C

Ответ

t_out = 70,22 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 1,527 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 2·2,1·(130 − 90) = 168 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,05)·168 = 159,6 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 159,6/(4,18·25) = 1,527 kg/s

Ответ

ṁ_c = 1,527 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 43,01 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/523,1 = 43,01 %

Ответ

η_max = 43,01 %

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_L = 1408 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 850 + 273,15 = 1123 K

T₀ = 27 + 273,15 = 300,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Работа машины

η = 1 − 300,1/1123 = 0,7328

Ẇ = 0,7328·190 = 139,2 kW

Теплота, отводимая холодильником

COP_R = 273,1/(300,1 − 273,1) = 10,12

Q̇_L = 10,12·139,2 = 1408 kW

Ответ

Q̇_L = 1408 kW

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 2167 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·985,1 = 2167 K

Ответ

T₃ = 2167 K

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 246 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T_2s = 290·10^0,2857 = 559,9 K

T_4s = 1300/10^0,2857 = 673,3 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(559,9 − 290)/0,88 = 308,2 kJ/kg

w_t = 0,88·1,005·(1300 − 673,3) = 554,2 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 554,2 − 308,2 = 246 kJ/kg

Ответ

w_net = 246 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 55,62%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1