Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 50 L содержит 410 g газа (CO₂) при 45 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 410 gM = 44,01 g/molV = 50 LT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (Ar) переходит от 300 kPa, 2 L, 10 °C к 600 kPa и 170 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 10 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (этанол) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 10% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 120 °Ct: 30 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 1900 kJ теплоты от резервуара при 475 °C и отдаёт 808 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 475 °CQ_H = 1900 kJQ_L = 808 kJ

T_L = °C

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере -10 °C на кухне при 30 °C, отводя из камеры теплоту 4,5 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 30 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 4,5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 18 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2. В начале сжатия температура воздуха 310 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 18r_c = 2T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 8. Воздух поступает в компрессор при 290 K, а в турбину — при 1200 K. Изоэнтропный КПД компрессора 82%, турбины 92%. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 290 KT₃ = 1200 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 492,8 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 410/44,01 = 9,316 mol

T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Давление

P = nRT/V = 9,316·8,314·318,1/0,05 = 492,8 kPa

Ответ

P = 492,8 kPa

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 1,565 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 283,1 K, T₂ = 443,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/600)·(443,1/283,1) = 1,565 L

Ответ

V₂ = 1,565 L

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 54,19 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 2,5·2,44·(130 − 90) = 244 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 244/(2·4,18) = 54,19 °C

Ответ

t_out = 54,19 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 2,584 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 3·3,6·(170 − 120) = 540 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,1)·540 = 486 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 486/(4,18·45) = 2,584 kg/s

Ответ

ṁ_c = 2,584 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 45,01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 475 + 273,15 = 748,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 748,1·808/1900 = 318,2 K = 45,01 °C

Ответ

T_L = 45,01 °C

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,684 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 30 + 273,15 = 303,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263,1/(303,1 − 263,1) = 6,579

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4,5/6,579 = 0,684 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,684 kW

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 1970 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 2·985,1 = 1970 K

Ответ

T₃ = 1970 K

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 208,6 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T_2s = 290·8^0,2857 = 525,3 K

T_4s = 1200/8^0,2857 = 662,5 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(525,3 − 290)/0,82 = 288,4 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1200 − 662,5) = 497 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 497 − 288,4 = 208,6 kJ/kg

Ответ

w_net = 208,6 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 58,03%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1