Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 270 g газа (Ar) при 250 kPa и 80 °C? Считайте газ идеальным.

m = 270 gM = 39,95 g/molP = 250 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (He) переходит от 200 kPa, 5 L, 35 °C к 650 kPa и 70 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 130 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 5% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 30 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 275 °C и холодным при 5 °C. Она получает 4700 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 275 °CT_L = 5 °CQ_H = 4700 kJ

W_max = kJ

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 3700 kJ теплоты от резервуара при 650 °C, совершает 1739 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 30 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 650 °CT_L = 30 °CQ_H = 3700 kJW = 1739 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 15 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

r = 15r_c = 2k = 1,4

η = %

8.Газовые циклыСложная

Идеальный цикл Брайтона работает со степенью повышения давления в компрессоре 10. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

r_p = 10k = 1,4

η = %

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 79,37 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 270/39,95 = 6,758 mol

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Объём

V = nRT/P = 6,758·8,314·353,1/250 = 79,37 L

Ответ

V = 79,37 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 1,713 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 308,1 K, T₂ = 343,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/650)·(343,1/308,1) = 1,713 L

Ответ

V₂ = 1,713 L

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 35,05 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 0,5·2,1·(170 − 130) = 42 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 42/(1·4,18) = 35,05 °C

Ответ

t_out = 35,05 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 8,182 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 2,5·3,6·(140 − 80) = 540 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,05)·540 = 513 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 513/(4,18·15) = 8,182 kg/s

Ответ

ṁ_c = 8,182 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 2315 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 275 + 273,15 = 548,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/548,1 = 49,26 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,4926·4700 = 2315 kJ

Ответ

W_max = 2315 kJ

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 2,461 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 3700 − 1739 = 1961 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 650 + 273,15 = 923,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −3700/923,1 = −4,008 kJ/K

ΔS_L = 1961/303,1 = 6,469 kJ/K

S_gen = 6,469 − 4,008 = 2,461 kJ/K

Ответ

S_gen = 2,461 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

7.Газовые циклы

Ответ: η = 60,37 %

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Множитель предварительного расширения

(2^1,4 − 1)/(1,4·(2 − 1)) = 1,171

Термический КПД

η = 1 − 0,3385·1,171 = 60,37%

Ответ

η = 60,37%

8.Газовые циклы

Ответ: η = 48,21 %

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Термический КПД

η = 1 − 1/10^0,2857 = 1 − 1/1,931 = 48,21%

Ответ

η = 48,21%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1