Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,8 kg на пружине с k = 250 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 1,8 kgk = 250 N/mA = 6 cmx = 1 cm

v = m/s

2.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 380 N/m оттягивают на 16 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,2 kgk = 380 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

3.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 1,5 cm находится в 15 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 30 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 1,5 cmd_o = 15 cmf = 30 cm

h_i = cm

4.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 589 nm падает под прямым углом на решётку с 1200 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 1200 mm⁻¹λ = 589 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6972 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(250/1,8) = 11,79 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,79·√(0,06² − 0,01²) = 0,6972 m/s

Ответ

v = 0,6972 m/s

2.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,744 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(380/3,2) = 10,9 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,16·10,9 = 1,744 m/s

Ответ

v_max = 1,744 m/s

3.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 3 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

Увеличение и высота

m = −(−30)/15 = 2

h_i = 2·1,5 = 3 cm

Ответ

h_i = 3 cm

4.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 44,98 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·589 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,7068

θ = 44,98°

Ответ

θ₁ = 44,98°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics