Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
0,9 kgk = 380 N/mA = 7 cmx = 1 cm

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 380 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 7 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 0,9 kgk = 380 N/mA = 7 cmx = 1 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
2 kgk = 1000 N/m500 m/s

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 2 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1000 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 500 m/sM = 2 kgk = 1000 N/m
A = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
FF5 cmdo​ = 8 cmf = 10 cm

Предмет высотой 5 cm находится в 8 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 cm. Найдите высоту изображения hi (отрицательную для перевёрнутого изображения).

ho = 5 cmdo = 8 cmf = 10 cm
hi = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
λ = 633 nmθ

Дифракционная решётка имеет 800 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 633 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок mmax светлого максимума, который можно увидеть?

N = 800 mm⁻¹λ = 633 nm
mmax =

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,424 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(380/0,9) = 20,55 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 20,55·√(0,07² − 0,01²) = 1,424 m/s

Ответ

v = 1,424 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: A = 16,71 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·500/2,015 = 3,722 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1000/2,015) = 22,28 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 3,722/22,28 = 0,1671 m = 16,71 cm

Ответ

A = 16,71 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: hi = 25 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/8
di = −40 cm
FF8 cmf = 10 cm

Увеличение и высота

m = −(−40)/8 = 5
hi = 5·5 = 25 cm

Ответ

hi = 25 cm
4.Волны, звук и оптика

Ответ: mmax = 1

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/800 mm = 1,25 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 1,25 µm/0,633 µm = 1,975 → mmax = 1

Ответ

mmax = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics