Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
L = ?

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,5 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,5 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
3 kgk = 100 N/m200 m/s

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 200 m/s, попадает в брусок массой 3 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 100 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 200 m/sM = 3 kgk = 100 N/m
A = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
FFdo​ = 18 cmf = 25 cm

Предмет находится в 18 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 25 cm. Найдите расстояние до изображения di. Используйте правило знаков 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для рассеивающей линзы, di < 0 для мнимого изображения).

do = 18 cmf = 25 cm
di = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
f1​ = 8 cmf2​ = 10 cm15 cm40 cm

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 40 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 8 cm и линза 2 с f₂ = 10 cm. Предмет находится в 15 cm перед линзой 1. Найдите положение di2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f1 = 8 cmf2 = 10 cms = 40 cmdo = 15 cm
di2 = cm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,553 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m

Ответ

L = 1,553 m
2.Пружины и маятники

Ответ: A = 11,53 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·200/3,01 = 0,6645 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(100/3,01) = 5,764 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,6645/5,764 = 0,1153 m = 11,53 cm

Ответ

A = 11,53 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: di = −64,29 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/di = 1/f − 1/do = 1/25 − 1/18
di = −64,29 cm
FF18 cmf = 25 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

di = −64,29 cm
4.Волны, звук и оптика

Ответ: di2 = 17,78 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/di1 = 1/8 − 1/15 → di1 = 17,14 cm

Предмет для линзы 2

do2 = 40 − 17,14 = 22,86 cm

Итоговое изображение

1/di2 = 1/10 − 1/22,86 → di2 = 17,78 cm

Ответ

di2 = 17,78 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics